ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 396 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:
а) \(\sqrt{20\,736}\);
б) \(\sqrt{50\,625}\);
в) \(\sqrt{28\,224}\);
г) \(\sqrt{680\,625}\).

а) \( \sqrt{20736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 \)

б) \( \sqrt{50625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225 \)

в) \( \sqrt{28224} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168 \)

г) \( \sqrt{680625} = \sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2} = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 3 \cdot 25 \cdot 11 = 825 \)

а) Для вычисления корня из числа 20736 сначала представим это число в виде произведения степеней простых множителей. Разложение на простые факторы даёт \(20736 = 2^8 \cdot 3^4\). Это значит, что число состоит из множителей 2 в восьмой степени и 3 в четвёртой степени. Корень квадратный из произведения равен произведению корней из каждого множителя, то есть \( \sqrt{20736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4}\).

Поскольку корень квадратный из степени равен степени с показателем, уменьшенным вдвое, получаем \( \sqrt{2^8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^4\) и \( \sqrt{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2\). Таким образом, итоговый результат равен \(2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144\). Это и есть значение корня из 20736.

б) Аналогично, для числа 50625 выполним разложение на простые множители: \(50625 = 3^4 \cdot 5^4\). Вычисляем корень квадратный через корень произведения: \( \sqrt{50625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4}\). Корни из степеней вычисляются как \(3^{\frac{4}{2}} = 3^2\) и \(5^{\frac{4}{2}} = 5^2\). В итоге получаем \(3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225\).

в) Для числа 28224 разложение на простые множители даёт \(28224 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2\). Корень квадратный из произведения равен произведению корней: \( \sqrt{28224} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2}\). Вычисляем отдельно: \(2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8\), \(3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3\), \(7^{\frac{2}{2}} = 7^1 = 7\). Перемножая, получаем \(8 \cdot 3 \cdot 7 = 168\).

г) В случае с числом 680625 разложение на простые множители: \(680625 = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2\). Корень квадратный из произведения равен произведению корней: \( \sqrt{680625} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{11^2}\). Вычисляем корни: \(3^{\frac{2}{2}} = 3\), \(5^{\frac{4}{2}} = 5^2 = 25\), \(11^{\frac{2}{2}} = 11\). Перемножая, получаем \(3 \cdot 25 \cdot 11 = 825\).