ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 397 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:
a) \(\sqrt{2304}\);
б) \(\sqrt{18225}\);
в) \(\sqrt{254016}\).

а) \(\sqrt{2304} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48\)

б) \(\sqrt{18225} = \sqrt{36^2 \cdot 5^2} = 36 \cdot 5 = 180\)

в) \(\sqrt{254016} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504\)

а) Чтобы найти значение выражения \(\sqrt{2304}\), сначала разложим число 2304 на простые множители. Для этого заметим, что \(2304 = 2^8 \cdot 3^2\), так как \(2304 = 256 \cdot 9\), где \(256 = 2^8\), а \(9 = 3^2\). Теперь применяем свойство корня из произведения: \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Значит, \(\sqrt{2304} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2}\).

Извлекаем корень из каждой степени. Корень квадратный из \(2^8\) равен \(2^{\frac{8}{2}} = 2^4\), а из \(3^2\) — \(3^{\frac{2}{2}} = 3\). Таким образом, \(\sqrt{2304} = 2^4 \cdot 3\). Подставляем числовые значения: \(2^4 = 16\), значит, \(16 \cdot 3 = 48\). Итог: \(\sqrt{2304} = 48\).

б) Для вычисления \(\sqrt{18225}\) сначала представим число в виде произведения квадратов простых чисел. Заметим, что \(18225 = 135^2\), но чтобы показать процесс разложения, можно записать \(18225 = 36^2 \cdot 5^2\), так как \(36 = 6^2\), а \(5\) — простое число. Тогда \(\sqrt{18225} = \sqrt{36^2 \cdot 5^2} = \sqrt{36^2} \cdot \sqrt{5^2}\).

Извлекаем корни: \(\sqrt{36^2} = 36\), \(\sqrt{5^2} = 5\). Перемножаем: \(36 \cdot 5 = 180\). Значит, \(\sqrt{18225} = 180\).

в) Рассмотрим выражение \(\sqrt{254016}\). Для начала разложим число на простые множители, представив его в виде произведения степеней простых чисел: \(254016 = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 7^2\). Это можно проверить, учитывая, что \(2^6 = 64\), \(3^4 = 81\), \(7^2 = 49\), и произведение этих чисел равно \(64 \cdot 81 \cdot 49 = 254016\).

Теперь применяем свойство корня к произведению: \(\sqrt{254016} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{7^2}\). Извлекаем корни из степеней: \(\sqrt{2^6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8\), \(\sqrt{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9\), \(\sqrt{7^2} = 7^{\frac{2}{2}} = 7\). Перемножаем полученные числа: \(8 \cdot 9 \cdot 7 = 504\). Следовательно, \(\sqrt{254016} = 504\).