ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 400 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) \(\sqrt{12}\); в) \(\sqrt{80}\); д) \(\sqrt{125}\); ж) \(\sqrt{363}\);

б) \(\sqrt{18}\); г) \(\sqrt{48}\); е) \(\sqrt{108}\); з) \(\sqrt{84500}\).

а) \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \sqrt{3};\)
б) \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \sqrt{2};\)
в) \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5};\)
г) \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3};\)
д) \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5 \sqrt{5};\)
е) \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6 \sqrt{3};\)
ж) \(\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11 \sqrt{3};\)
з) \(\sqrt{84500} = \sqrt{16900 \cdot 5} = 130 \sqrt{5}.\)

а) Для вычисления корня из числа 12 сначала разложим подкоренное выражение на произведение удобных множителей. Число 12 можно представить как \(4 \cdot 3\), где \(4\) — полный квадрат, так как \(4 = 2^2\). Это важно, потому что корень из произведения равен произведению корней: \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}\). Поскольку \(\sqrt{4} = 2\), получаем \(2 \sqrt{3}\).

Таким образом, извлечь корень из полного квадрата позволяет упростить выражение, выделяя целое число из-под корня. Это классический приём для упрощения корней.

б) Аналогично предыдущему примеру, число 18 раскладываем на произведение \(9 \cdot 2\). Число 9 — полный квадрат, так как \(9 = 3^2\). Тогда \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}\). Выделение полного квадрата позволяет упростить корень, сделав выражение более компактным и удобным для дальнейших вычислений.

в) Число 80 представляем как произведение \(16 \cdot 5\), где \(16 = 4^2\) — полный квадрат. Тогда \(\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}\). Такой способ упрощения корней широко используется для сокращения выражений с радикалами.

г) Число 48 раскладываем на \(16 \cdot 3\), где \(16 = 4^2\) — полный квадрат. Следовательно, \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}\). Этот приём позволяет выделить из-под корня целое число, что облегчает дальнейшую работу с выражением.

д) Число 125 разлагаем на \(25 \cdot 5\), где \(25 = 5^2\) — полный квадрат. Тогда \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}\). Выделение полного квадрата в подкоренном выражении — ключевой метод упрощения корней.

е) Число 108 представляем как \(36 \cdot 3\), где \(36 = 6^2\) — полный квадрат. Тогда \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}\). Такой приём помогает упростить выражение и сделать его более наглядным.

ж) Число 363 разлагаем на \(121 \cdot 3\), где \(121 = 11^2\) — полный квадрат. Следовательно, \(\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{3} = 11 \sqrt{3}\). Это позволяет выделить целый множитель и упростить корень.

з) Число 84500 раскладываем на \(16900 \cdot 5\), где \(16900 = 130^2\) — полный квадрат. Тогда \(\sqrt{84500} = \sqrt{16900 \cdot 5} = \sqrt{16900} \cdot \sqrt{5} = 130 \sqrt{5}\). Выделение полного квадрата из подкоренного выражения значительно упрощает вычисления и делает результат более компактным.