ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 403 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Внесите множитель под знак корня:

а) \(7\sqrt{10}\);  г) \(10\sqrt{y}\);  ж) \(a\sqrt{x^2}\);

б) \(5\sqrt{3}\);  д) \(3\sqrt{2a}\);  з) \(m^2\sqrt{m^3}\);

в) \(6\sqrt{x}\);  е) \(5\sqrt{3b}\);  и) \(3xy^2\sqrt{y}\).

а) \(7 \sqrt{10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490};\)
б) \(5 \sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75};\)
в) \(6 \sqrt{x} = \sqrt{36x};\)
г) \(10 \sqrt{y} = \sqrt{100y};\)
д) \(3 \sqrt{2a} = \sqrt{9 \cdot 2a} = \sqrt{18a};\)
е) \(5 \sqrt{3b} = \sqrt{25 \cdot 3b} = \sqrt{75b};\)
ж) \(a \sqrt{x^2} = \sqrt{a^2 x^2};\)
з) \(m^2 \sqrt{m^3} = \sqrt{m^4 m^3} = \sqrt{m^7};\)
и) \(3 x y^2 \sqrt{y} = \sqrt{9 x^2 y^4 y} = \sqrt{9 x^2 y^5}.\)

а) Умножаем число 7 на корень из 10. Чтобы упростить выражение, представляем 7 как корень из 49, так как \(7 = \sqrt{49}\). Тогда выражение переписываем как произведение двух корней: \(7 \sqrt{10} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{10}\). По свойству корня произведение можно записать под один знак корня: \(\sqrt{49 \cdot 10}\). Далее перемножаем подкоренные значения: \(49 \cdot 10 = 490\), следовательно, получаем \(\sqrt{490}\).

Таким образом, исходное выражение \(7 \sqrt{10}\) эквивалентно \(\sqrt{490}\), что упрощает работу с корнями и позволяет видеть результат в виде одного корня.

б) В выражении \(5 \sqrt{3}\) число 5 представляем как \(\sqrt{25}\), поскольку \(5 = \sqrt{25}\). Переписываем произведение как \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}\). По свойству корня произведение подкоренных чисел записываем под один знак корня: \(\sqrt{25 \cdot 3}\). Перемножаем подкоренные числа: \(25 \cdot 3 = 75\), и получаем \(\sqrt{75}\).

Это упрощение позволяет заменить произведение числа и корня одним корнем с произведением подкоренных значений, что часто упрощает вычисления.

в) В выражении \(6 \sqrt{x}\) число 6 представим как \(\sqrt{36}\), так как \(6 = \sqrt{36}\). Тогда выражение переписывается как \(\sqrt{36} \cdot \sqrt{x}\). По свойству корня произведение подкоренных выражений можно объединить: \(\sqrt{36x}\).

Таким образом, исходное выражение \(6 \sqrt{x}\) равно \(\sqrt{36x}\), что упрощает дальнейшие преобразования с корнями.

г) В выражении \(10 \sqrt{y}\) число 10 можно представить как \(\sqrt{100}\), так как \(10 = \sqrt{100}\). Тогда произведение переписываем как \(\sqrt{100} \cdot \sqrt{y}\). По свойству корня произведение подкоренных значений объединяем: \(\sqrt{100y}\).

Это позволяет записать исходное выражение в виде одного корня, что часто удобнее для вычислений и упрощений.

д) В выражении \(3 \sqrt{2a}\) число 3 представляем как \(\sqrt{9}\), поскольку \(3 = \sqrt{9}\). Тогда переписываем произведение в виде \(\sqrt{9} \cdot \sqrt{2a}\). По свойству корня произведение подкоренных выражений объединяем: \(\sqrt{9 \cdot 2a}\). Перемножаем подкоренные значения: \(9 \cdot 2a = 18a\), следовательно, получаем \(\sqrt{18a}\).

Таким образом, исходное выражение \(3 \sqrt{2a}\) упрощается до \(\sqrt{18a}\).

е) В выражении \(5 \sqrt{3b}\) число 5 заменяем на \(\sqrt{25}\), так как \(5 = \sqrt{25}\). Тогда выражение переписываем как \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{3b}\). По свойству корня произведение подкоренных значений объединяем: \(\sqrt{25 \cdot 3b}\). Перемножаем подкоренные числа: \(25 \cdot 3b = 75b\), и получаем \(\sqrt{75b}\).

Это упрощение позволяет заменить произведение числа и корня одним корнем с произведением подкоренных значений.

ж) В выражении \(a \sqrt{x^2}\) число \(a\) можно представить как \(\sqrt{a^2}\), поскольку \(a = \sqrt{a^2}\). Тогда произведение переписываем как \(\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{x^2}\). По свойству корня произведение подкоренных выражений объединяем: \(\sqrt{a^2 x^2}\).

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\sqrt{a^2 x^2}\), что удобно для дальнейших преобразований.

з) В выражении \(m^2 \sqrt{m^3}\) степень \(m^2\) представляем как \(\sqrt{m^4}\), поскольку \(m^2 = \sqrt{m^4}\). Тогда выражение становится произведением двух корней: \(\sqrt{m^4} \cdot \sqrt{m^3}\). По свойству корня произведение подкоренных выражений объединяем: \(\sqrt{m^4 \cdot m^3}\). Складываем показатели степени при умножении одинаковых оснований: \(m^{4+3} = m^7\), следовательно, получаем \(\sqrt{m^7}\).

Это упрощение позволяет записать исходное выражение в виде одного корня с показателем степени, что удобно для дальнейших вычислений.

и) В выражении \(3 x y^2 \sqrt{y}\) число 3 представляем как \(\sqrt{9}\), так как \(3 = \sqrt{9}\). Также \(x\) и \(y^2\) можно представить как \(\sqrt{x^2}\) и \(\sqrt{y^4}\) соответственно, поскольку \(x = \sqrt{x^2}\) и \(y^2 = \sqrt{y^4}\). Тогда выражение переписываем как произведение корней: \(\sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{y}\). По свойству корня произведение подкоренных выражений объединяем: \(\sqrt{9 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y}\). Перемножаем степени с одинаковым основанием \(y^{4} \cdot y^{1} = y^{5}\), следовательно, получаем \(\sqrt{9 x^2 y^5}\).

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\sqrt{9 x^2 y^5}\), что удобно для дальнейших преобразований.