Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 405 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:
а) \(3 \sqrt{\frac{1}{3}}\); г) \(-10 \sqrt{0,02}\); ж) \(-0,1 \sqrt{1,2a}\);
б) \(2 \sqrt[4]{\frac{3}{4}}\); д) \(5 \sqrt{\frac{a}{5}}\); з) \(-\frac{1}{3} \sqrt{0,9a}\);
в) \(\frac{1}{3} \sqrt{18}\); е) \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x}\); и) \(-6 \sqrt{6b}\).
а) \(3 \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3}\)
б) \(2 \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}\)
в) \(\frac{1}{3} \sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}\)
г) \(-10 \sqrt{0,02} = — \sqrt{100 \cdot 0,02} = — \sqrt{2}\)
д) \(5 \sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{\frac{25a}{5}} = \sqrt{5a}\)
е) \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x} = — \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = — \sqrt{3x}\)
ж) \(-0,1 \sqrt{1,2a} = — \sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = — \sqrt{0,012a}\)
з) \(-\frac{1}{3} \sqrt{0,9a} = — \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 0,9a} = — \sqrt{0,1a}\)
и) \(-6 \sqrt{6b} = — \sqrt{36 \cdot 6b} = — \sqrt{216b}\)
а) В этом выражении мы имеем множитель 3 и корень квадратный из дроби \(\frac{1}{3}\). Чтобы упростить, сначала возьмём корень из дроби: \(\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Далее умножаем на 3: \(3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получая \(\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\).
Таким образом, исходное выражение равно \(\sqrt{3}\), что соответствует упрощённому виду корня из трёх.
б) В выражении \(2 \sqrt{\frac{3}{4}}\) сначала выделим множитель под корнем. Корень из дроби равен \(\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Теперь умножаем на 2: \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).
Альтернативно, можно представить \(2 \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3}\), что также приводит к тому же результату.
в) Здесь у нас дробь \(\frac{1}{3}\), умноженная на корень из 18. Перепишем это как \(\frac{1}{3} \sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}\), так как \(\frac{1}{9} \cdot 18 = 2\).
Иными словами, мы воспользовались свойством корня из произведения, чтобы объединить множители под одним корнем, что упростило вычисление.
г) В выражении \(-10 \sqrt{0,02}\) сначала представим 10 как \(\sqrt{100}\), тогда \(-10 \sqrt{0,02} = — \sqrt{100} \cdot \sqrt{0,02} = — \sqrt{100 \cdot 0,02} = — \sqrt{2}\).
Это упрощение позволяет избавиться от множителей вне корня, объединив их под один корень, что облегчает вычисление.
д) Здесь \(5 \sqrt{\frac{a}{5}}\) можно переписать как \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{5a}\), используя свойство корня из произведения.
Таким образом, множитель 5 вынесен из-под корня в виде \(\sqrt{25}\), что позволяет объединить выражение под одним корнем.
е) В выражении \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x}\) сначала преобразуем множитель \(\frac{1}{2}\) в корень: \(\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}}\). Тогда \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x} = — \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{12x} = — \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = — \sqrt{3x}\).
Это позволяет объединить множители под один корень, упростив выражение.
ж) В выражении \(-0,1 \sqrt{1,2a}\) представим \(0,1\) как \(\sqrt{0,01}\), тогда \(-0,1 \sqrt{1,2a} = — \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{1,2a} = — \sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = — \sqrt{0,012a}\).
Такое преобразование упрощает вычисление, объединяя множители под корнем.
з) Аналогично, \(-\frac{1}{3} \sqrt{0,9a}\) переписываем как \(- \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{0,9a} = — \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 0,9a} = — \sqrt{0,1a}\).
Это упрощение основано на свойстве корня из произведения и позволяет избавиться от дробного множителя вне корня.
и) В выражении \(-6 \sqrt{6b}\) представим 6 как \(\sqrt{36}\), тогда \(-6 \sqrt{6b} = — \sqrt{36} \cdot \sqrt{6b} = — \sqrt{36 \cdot 6b} = — \sqrt{216b}\).
Такое упрощение объединяет множитель и выражение под корнем в одно целое, делая итог более компактным.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!