ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 405 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:

а) \(3 \sqrt{\frac{1}{3}}\);  г) \(-10 \sqrt{0,02}\);  ж) \(-0,1 \sqrt{1,2a}\);

б) \(2 \sqrt[4]{\frac{3}{4}}\);  д) \(5 \sqrt{\frac{a}{5}}\);  з) \(-\frac{1}{3} \sqrt{0,9a}\);

в) \(\frac{1}{3} \sqrt{18}\);  е) \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x}\);  и) \(-6 \sqrt{6b}\).

а) \(3 \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3}\)

б) \(2 \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}\)

в) \(\frac{1}{3} \sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}\)

г) \(-10 \sqrt{0,02} = — \sqrt{100 \cdot 0,02} = — \sqrt{2}\)

д) \(5 \sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{\frac{25a}{5}} = \sqrt{5a}\)

е) \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x} = — \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = — \sqrt{3x}\)

ж) \(-0,1 \sqrt{1,2a} = — \sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = — \sqrt{0,012a}\)

з) \(-\frac{1}{3} \sqrt{0,9a} = — \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 0,9a} = — \sqrt{0,1a}\)

и) \(-6 \sqrt{6b} = — \sqrt{36 \cdot 6b} = — \sqrt{216b}\)

а) В этом выражении мы имеем множитель 3 и корень квадратный из дроби \(\frac{1}{3}\). Чтобы упростить, сначала возьмём корень из дроби: \(\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Далее умножаем на 3: \(3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получая \(\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\).

Таким образом, исходное выражение равно \(\sqrt{3}\), что соответствует упрощённому виду корня из трёх.

б) В выражении \(2 \sqrt{\frac{3}{4}}\) сначала выделим множитель под корнем. Корень из дроби равен \(\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Теперь умножаем на 2: \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).

Альтернативно, можно представить \(2 \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3}\), что также приводит к тому же результату.

в) Здесь у нас дробь \(\frac{1}{3}\), умноженная на корень из 18. Перепишем это как \(\frac{1}{3} \sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}\), так как \(\frac{1}{9} \cdot 18 = 2\).

Иными словами, мы воспользовались свойством корня из произведения, чтобы объединить множители под одним корнем, что упростило вычисление.

г) В выражении \(-10 \sqrt{0,02}\) сначала представим 10 как \(\sqrt{100}\), тогда \(-10 \sqrt{0,02} = — \sqrt{100} \cdot \sqrt{0,02} = — \sqrt{100 \cdot 0,02} = — \sqrt{2}\).

Это упрощение позволяет избавиться от множителей вне корня, объединив их под один корень, что облегчает вычисление.

д) Здесь \(5 \sqrt{\frac{a}{5}}\) можно переписать как \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{5a}\), используя свойство корня из произведения.

Таким образом, множитель 5 вынесен из-под корня в виде \(\sqrt{25}\), что позволяет объединить выражение под одним корнем.

е) В выражении \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x}\) сначала преобразуем множитель \(\frac{1}{2}\) в корень: \(\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}}\). Тогда \(-\frac{1}{2} \sqrt{12x} = — \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{12x} = — \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = — \sqrt{3x}\).

Это позволяет объединить множители под один корень, упростив выражение.

ж) В выражении \(-0,1 \sqrt{1,2a}\) представим \(0,1\) как \(\sqrt{0,01}\), тогда \(-0,1 \sqrt{1,2a} = — \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{1,2a} = — \sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = — \sqrt{0,012a}\).

Такое преобразование упрощает вычисление, объединяя множители под корнем.

з) Аналогично, \(-\frac{1}{3} \sqrt{0,9a}\) переписываем как \(- \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{0,9a} = — \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 0,9a} = — \sqrt{0,1a}\).

Это упрощение основано на свойстве корня из произведения и позволяет избавиться от дробного множителя вне корня.

и) В выражении \(-6 \sqrt{6b}\) представим 6 как \(\sqrt{36}\), тогда \(-6 \sqrt{6b} = — \sqrt{36} \cdot \sqrt{6b} = — \sqrt{36 \cdot 6b} = — \sqrt{216b}\).

Такое упрощение объединяет множитель и выражение под корнем в одно целое, делая итог более компактным.