ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 406 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

а) \(2\sqrt{2}\);

б) \(5\sqrt{y}\);

в) \(-7\sqrt{3}\);

г) \(-6\sqrt{2a}\);

д) \(\frac{1}{3}\sqrt{18b}\);

е) \(-0,1\sqrt{200c}\).

а) \(2\sqrt{2} = \sqrt{8}\)
б) \(5\sqrt{y} = \sqrt{25y}\)
в) \(-7\sqrt{3} = -\sqrt{49 \cdot 3} = -\sqrt{147}\)
г) \(-6\sqrt{2a} = -\sqrt{36 \cdot 2a} = -\sqrt{72a}\)
д) \(\frac{1}{3}\sqrt{18b} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18b} = \sqrt{2b}\)
е) \(-0,1\sqrt{200c} = -\sqrt{0,01 \cdot 200c} = -\sqrt{2c}\)

а) В этом выражении нам нужно показать равенство \(2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{8}\). Начинаем с того, что \(2\sqrt{2}\) можно представить как \(\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2}\), а по свойству корней произведение корней равно корню произведения, то есть \(\sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}\). Таким образом, выражение \(2\sqrt{2}\) действительно равно \(\sqrt{8}\). Это происходит потому, что множитель 2 вне корня можно записать под корень как квадрат числа 2.

Далее, это равенство подтверждается свойством корней: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\). Здесь \(a = 2^2 = 4\), \(b = 2\), тогда \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8}\). Поэтому преобразование \(2\sqrt{2} = \sqrt{8}\) корректно и основано на свойствах извлечения корня из произведения.

б) В выражении \(5\sqrt{y}\) множитель 5 можно представить как \(\sqrt{25}\), так как \(25 = 5^2\). Тогда \(5\sqrt{y} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{25y}\). Это возможно благодаря свойству корней, что произведение корней равно корню произведения. Таким образом, \(5\sqrt{y}\) преобразуется в \(\sqrt{25y}\).

Это упрощение позволяет объединить множитель и корень под одним знаком корня, что часто удобно для дальнейших преобразований или упрощений. Важно понимать, что такое действие возможно только для положительных чисел или выражений, где определён корень.

в) Рассмотрим выражение \(-7\sqrt{3}\). Число 7 можно представить как \(\sqrt{49}\), так как \(49 = 7^2\). Тогда \(-7\sqrt{3} = -\sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{49 \cdot 3} = -\sqrt{147}\). Здесь знак минус сохраняется перед корнем, так как он относится ко всему выражению.

Это преобразование основано на том же свойстве корней: произведение корней равно корню произведения. Благодаря этому мы можем упростить выражение, объединив множитель и корень под одним знаком корня. Это часто используется для упрощения радикалов.

г) В выражении \(-6\sqrt{2a}\) число 6 представим как \(\sqrt{36}\), так как \(36 = 6^2\). Тогда \(-6\sqrt{2a} = -\sqrt{36} \cdot \sqrt{2a} = -\sqrt{36 \cdot 2a} = -\sqrt{72a}\). Знак минус остаётся перед корнем, так как он относится к всему выражению.

Это преобразование позволяет объединить числовой множитель и подкоренное выражение под одним знаком корня, что упрощает запись и дальнейшие вычисления. Свойство корней, используемое здесь, — это равенство произведения корней и корня произведения.

д) Рассмотрим \(\frac{1}{3}\sqrt{18b}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) можно представить как \(\sqrt{\frac{1}{9}}\), так как \(\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2\). Тогда \(\frac{1}{3}\sqrt{18b} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{18b} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18b} = \sqrt{2b}\).

Таким образом, множитель вне корня переводится под знак корня в виде квадрата дроби, что позволяет объединить множитель и подкоренное выражение. Это упрощение полезно для более компактного вида выражения и дальнейших преобразований.

е) В выражении \(-0,1\sqrt{200c}\) число \(0,1\) можно представить как \(\sqrt{0,01}\), так как \(0,01 = (0,1)^2\). Тогда \(-0,1\sqrt{200c} = -\sqrt{0,01} \cdot \sqrt{200c} = -\sqrt{0,01 \cdot 200c} = -\sqrt{2c}\).

Знак минус остаётся перед корнем, так как он относится ко всему выражению. Это преобразование позволяет объединить множитель и подкоренное выражение, используя свойство корней, что делает запись более компактной и удобной для дальнейших действий.