Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 408 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сравните значения выражений:
а) \(\frac{1}{3}\sqrt{351}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{188}\);
б) \(\frac{1}{3}\sqrt{54}\) и \(\frac{1}{5}\sqrt{150}\);
в) \(\sqrt{24}\) и \(\frac{1}{3}\sqrt{216}\);
г) \(\frac{2}{3}\sqrt{72}\) и \(7\sqrt{\frac{2}{3}}\).
а) \(\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}\)
\(\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 351} < \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 188}\)
\(\sqrt{39} < \sqrt{48}\)
б) \(\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}\)
\(\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 54} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 150}\)
\(\sqrt{6} = \sqrt{6}\)
в) \(\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}\)
\(\sqrt{24} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 216}\)
\(\sqrt{24} = \sqrt{24}\)
г) \(\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} < \sqrt{49 \cdot \frac{2}{3}}\)
\(\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}\)
\(\sqrt{32} < \sqrt{32 \cdot \frac{2}{3}}\)
а) В этом неравенстве мы сравниваем два выражения с корнями: \(\frac{1}{3}\sqrt{351}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{188}\). Для упрощения сначала вынесем коэффициенты под знак корня. Для этого возьмём квадрат коэффициентов: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) и \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). Тогда исходное неравенство перепишется как \(\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 351} < \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 188}\).
Внутри корня перемножаем числа: \(\frac{1}{9} \cdot 351 = 39\), \(\frac{1}{4} \cdot 188 = 47\). Получаем \(\sqrt{39} < \sqrt{47}\). Поскольку функция корня является возрастающей для положительных чисел, сравнение корней сводится к сравнению подкоренных выражений. Так как \(39 < 47\), исходное неравенство верно.
б) Здесь дана равенство \(\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}\). Аналогично предыдущему пункту, возводим коэффициенты в квадрат: \(\frac{1}{9}\) и \(\frac{1}{25}\), и переносим их под знак корня, получая \(\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 54} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 150}\).
Выполним умножение: \(\frac{1}{9} \cdot 54 = 6\), \(\frac{1}{25} \cdot 150 = 6\). Таким образом, у нас \(\sqrt{6} = \sqrt{6}\), что доказывает равенство исходных выражений.
в) Рассмотрим равенство \(\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}\). Чтобы проверить, равны ли эти выражения, перенесём коэффициент \(\frac{1}{3}\) под знак корня, возведя его в квадрат: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\). Тогда правая часть равенства становится \(\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 216}\).
Выполним умножение внутри корня: \(\frac{1}{9} \cdot 216 = 24\). Следовательно, \(\sqrt{24} = \sqrt{24}\), равенство верно.
г) Неравенство \(\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}\) требует приведения коэффициентов под знак корня. Для левой части возьмём квадрат \(\frac{2}{3}\), равный \(\frac{4}{9}\), а для правой части квадрат числа 7 равен 49. Обозначим коэффициенты под корнем: левая часть \(\sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72}\), правая — \(\sqrt{49 \cdot \frac{2}{3}}\).
Выполним умножение: \(\frac{4}{9} \cdot 72 = 32\), \(49 \cdot \frac{2}{3} = \frac{98}{3}\). Тогда неравенство примет вид \(\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}\). Поскольку функция корня монотонна, сравним подкоренные выражения: \(32\) и \(\frac{98}{3} \approx 32.67\). Так как \(32 < 32.67\), исходное неравенство верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!