Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 409 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Расположите в порядке возрастания числа:
а) \(3\sqrt{3}\), \(2\sqrt{6}\), \(\sqrt{29}\), \(4\sqrt{2}\), \(2\sqrt{11}\);
б) \(6\sqrt{2}\), \(\sqrt{58}\), \(3\sqrt{7}\), \(2\sqrt{14}\), \(5\sqrt{3}\);
в) \(-\sqrt{11}\), \(-2\sqrt{5}\), \(\sqrt{2}\), \(-2\sqrt{6}\), \(-\sqrt{51}\);
г) \(\sqrt{83}\), \(-9\sqrt{2}\), \(-\sqrt{17}\), \(-5\sqrt{8}\), \(-\frac{1}{3}\sqrt{18}\).
а) \(3 \sqrt{3} = \sqrt{27}, \quad 2 \sqrt{6} = \sqrt{24}, \quad 4 \sqrt{2} = \sqrt{32}, \quad 2 \sqrt{11} = \sqrt{44}, \quad \sqrt{29}.\)
\(2 \sqrt{6} < 3 \sqrt{3} < \sqrt{29} < 4 \sqrt{2} < 2 \sqrt{11}.\)
б) \(6 \sqrt{2} = \sqrt{72}, \quad \sqrt{58}, \quad 3 \sqrt{7} = \sqrt{63}, \quad 2 \sqrt{14} = \sqrt{56}, \quad 5 \sqrt{3} = \sqrt{75}.\)
\(2 \sqrt{14} < \sqrt{58} < 3 \sqrt{7} < 6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}.\)
в) \(- \sqrt{11}, \quad -2 \sqrt{5} = — \sqrt{20}, \quad \sqrt{2}, \quad -2 \sqrt{6} = — \sqrt{24}, \quad — \sqrt{51}.\)
\(- \sqrt{51} < -2 \sqrt{6} < -2 \sqrt{5} < — \sqrt{11} < \sqrt{2}.\)
г) \(- \sqrt{83}, \quad -9 \sqrt{2} = — \sqrt{162}, \quad — \sqrt{17}, \quad -5 \sqrt{8} = — \sqrt{200}, \quad — \frac{1}{3} \sqrt{18}.\)
\(-5 \sqrt{8} < -9 \sqrt{2} < — \sqrt{83} < — \sqrt{17} < — \frac{1}{3} \sqrt{18}.\)
а) Для сравнения чисел, содержащих корни, сначала выражаем каждое число в виде корня из квадрата, чтобы было удобнее сравнивать. Например, \(3 \sqrt{3} = \sqrt{27}\), так как \(3 \sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}\). Аналогично: \(2 \sqrt{6} = \sqrt{24}\), так как \(2 \sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}\). Далее, \(4 \sqrt{2} = \sqrt{32}\), \(2 \sqrt{11} = \sqrt{44}\), а \(\sqrt{29}\) остается без изменений.
Теперь, сравнивая числа под корнем, мы видим последовательность: \( \sqrt{24} < \sqrt{27} < \sqrt{29} < \sqrt{32} < \sqrt{44} \). Из этого следует, что \(2 \sqrt{6} < 3 \sqrt{3} < \sqrt{29} < 4 \sqrt{2} < 2 \sqrt{11}\). Такой способ позволяет легко упорядочить числа с корнями, сведя сравнение к сравнению подкоренных выражений.
б) Аналогично первому пункту, преобразуем числа с корнями в выражения под знаком корня с помощью возведения коэффициентов в квадрат. Например, \(6 \sqrt{2} = \sqrt{72}\), так как \(6 \sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\). Для \(\sqrt{58}\) изменений не требуется, оно уже под корнем. \(3 \sqrt{7} = \sqrt{63}\), \(2 \sqrt{14} = \sqrt{56}\), \(5 \sqrt{3} = \sqrt{75}\).
Сравниваем подкоренные выражения: \(\sqrt{56} < \sqrt{58} < \sqrt{63} < \sqrt{72} < \sqrt{75}\), откуда следует, что \(2 \sqrt{14} < \sqrt{58} < 3 \sqrt{7} < 6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}\). Этот метод позволяет избежать сложностей с корнями и сделать сравнение более наглядным.
в) В этом пункте присутствуют отрицательные выражения с корнями. Преобразуем каждое с учётом знака минус. Например, \(-2 \sqrt{5} = — \sqrt{20}\), так как \(2 \sqrt{5} = \sqrt{20}\). Аналогично, \(-2 \sqrt{6} = — \sqrt{24}\). Остальные выражения: \(- \sqrt{11}\), \(\sqrt{2}\), \(- \sqrt{51}\) остаются без изменений.
Для упорядочивания учитываем, что отрицательные числа с большими по модулю значениями меньше. Получаем последовательность: \(- \sqrt{51} < — \sqrt{24} < — \sqrt{20} < — \sqrt{11} < \sqrt{2}\), то есть \(- \sqrt{51} < -2 \sqrt{6} < -2 \sqrt{5} < — \sqrt{11} < \sqrt{2}\). Таким образом, отрицательные значения сравниваются по абсолютной величине подкоренного выражения, но с учётом знака.
г) Здесь также отрицательные выражения с корнями, некоторые с коэффициентами. Преобразуем: \(-9 \sqrt{2} = — \sqrt{162}\), \(-5 \sqrt{8} = — \sqrt{200}\), остальные: \(- \sqrt{83}\), \(- \sqrt{17}\), \(- \frac{1}{3} \sqrt{18}\). Для \(- \frac{1}{3} \sqrt{18}\) оставим так, так как корень и дробь уже в удобном виде.
Сравниваем по абсолютной величине подкоренных выражений: \(\sqrt{200} > \sqrt{162} > \sqrt{83} > \sqrt{17} > \frac{1}{3} \sqrt{18}\). С учетом отрицательного знака порядок будет обратным: \(- \sqrt{200} < — \sqrt{162} < — \sqrt{83} < — \sqrt{17} < — \frac{1}{3} \sqrt{18}\). Переписываем с исходными коэффициентами: \(-5 \sqrt{8} < -9 \sqrt{2} < — \sqrt{83} < — \sqrt{17} < — \frac{1}{3} \sqrt{18}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!