ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 409 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

а) \(3\sqrt{3}\), \(2\sqrt{6}\), \(\sqrt{29}\), \(4\sqrt{2}\), \(2\sqrt{11}\);

б) \(6\sqrt{2}\), \(\sqrt{58}\), \(3\sqrt{7}\), \(2\sqrt{14}\), \(5\sqrt{3}\);

в) \(-\sqrt{11}\), \(-2\sqrt{5}\), \(\sqrt{2}\), \(-2\sqrt{6}\), \(-\sqrt{51}\);

г) \(\sqrt{83}\), \(-9\sqrt{2}\), \(-\sqrt{17}\), \(-5\sqrt{8}\), \(-\frac{1}{3}\sqrt{18}\).

а) \(3 \sqrt{3} = \sqrt{27}, \quad 2 \sqrt{6} = \sqrt{24}, \quad 4 \sqrt{2} = \sqrt{32}, \quad 2 \sqrt{11} = \sqrt{44}, \quad \sqrt{29}.\)
\(2 \sqrt{6} < 3 \sqrt{3} < \sqrt{29} < 4 \sqrt{2} < 2 \sqrt{11}.\)

б) \(6 \sqrt{2} = \sqrt{72}, \quad \sqrt{58}, \quad 3 \sqrt{7} = \sqrt{63}, \quad 2 \sqrt{14} = \sqrt{56}, \quad 5 \sqrt{3} = \sqrt{75}.\)
\(2 \sqrt{14} < \sqrt{58} < 3 \sqrt{7} < 6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}.\)

в) \(- \sqrt{11}, \quad -2 \sqrt{5} = — \sqrt{20}, \quad \sqrt{2}, \quad -2 \sqrt{6} = — \sqrt{24}, \quad — \sqrt{51}.\)
\(- \sqrt{51} < -2 \sqrt{6} < -2 \sqrt{5} < — \sqrt{11} < \sqrt{2}.\)

г) \(- \sqrt{83}, \quad -9 \sqrt{2} = — \sqrt{162}, \quad — \sqrt{17}, \quad -5 \sqrt{8} = — \sqrt{200}, \quad — \frac{1}{3} \sqrt{18}.\)
\(-5 \sqrt{8} < -9 \sqrt{2} < — \sqrt{83} < — \sqrt{17} < — \frac{1}{3} \sqrt{18}.\)

а) Для сравнения чисел, содержащих корни, сначала выражаем каждое число в виде корня из квадрата, чтобы было удобнее сравнивать. Например, \(3 \sqrt{3} = \sqrt{27}\), так как \(3 \sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}\). Аналогично: \(2 \sqrt{6} = \sqrt{24}\), так как \(2 \sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}\). Далее, \(4 \sqrt{2} = \sqrt{32}\), \(2 \sqrt{11} = \sqrt{44}\), а \(\sqrt{29}\) остается без изменений.

Теперь, сравнивая числа под корнем, мы видим последовательность: \( \sqrt{24} < \sqrt{27} < \sqrt{29} < \sqrt{32} < \sqrt{44} \). Из этого следует, что \(2 \sqrt{6} < 3 \sqrt{3} < \sqrt{29} < 4 \sqrt{2} < 2 \sqrt{11}\). Такой способ позволяет легко упорядочить числа с корнями, сведя сравнение к сравнению подкоренных выражений.

б) Аналогично первому пункту, преобразуем числа с корнями в выражения под знаком корня с помощью возведения коэффициентов в квадрат. Например, \(6 \sqrt{2} = \sqrt{72}\), так как \(6 \sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}\). Для \(\sqrt{58}\) изменений не требуется, оно уже под корнем. \(3 \sqrt{7} = \sqrt{63}\), \(2 \sqrt{14} = \sqrt{56}\), \(5 \sqrt{3} = \sqrt{75}\).

Сравниваем подкоренные выражения: \(\sqrt{56} < \sqrt{58} < \sqrt{63} < \sqrt{72} < \sqrt{75}\), откуда следует, что \(2 \sqrt{14} < \sqrt{58} < 3 \sqrt{7} < 6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}\). Этот метод позволяет избежать сложностей с корнями и сделать сравнение более наглядным.

в) В этом пункте присутствуют отрицательные выражения с корнями. Преобразуем каждое с учётом знака минус. Например, \(-2 \sqrt{5} = — \sqrt{20}\), так как \(2 \sqrt{5} = \sqrt{20}\). Аналогично, \(-2 \sqrt{6} = — \sqrt{24}\). Остальные выражения: \(- \sqrt{11}\), \(\sqrt{2}\), \(- \sqrt{51}\) остаются без изменений.

Для упорядочивания учитываем, что отрицательные числа с большими по модулю значениями меньше. Получаем последовательность: \(- \sqrt{51} < — \sqrt{24} < — \sqrt{20} < — \sqrt{11} < \sqrt{2}\), то есть \(- \sqrt{51} < -2 \sqrt{6} < -2 \sqrt{5} < — \sqrt{11} < \sqrt{2}\). Таким образом, отрицательные значения сравниваются по абсолютной величине подкоренного выражения, но с учётом знака.

г) Здесь также отрицательные выражения с корнями, некоторые с коэффициентами. Преобразуем: \(-9 \sqrt{2} = — \sqrt{162}\), \(-5 \sqrt{8} = — \sqrt{200}\), остальные: \(- \sqrt{83}\), \(- \sqrt{17}\), \(- \frac{1}{3} \sqrt{18}\). Для \(- \frac{1}{3} \sqrt{18}\) оставим так, так как корень и дробь уже в удобном виде.

Сравниваем по абсолютной величине подкоренных выражений: \(\sqrt{200} > \sqrt{162} > \sqrt{83} > \sqrt{17} > \frac{1}{3} \sqrt{18}\). С учетом отрицательного знака порядок будет обратным: \(- \sqrt{200} < — \sqrt{162} < — \sqrt{83} < — \sqrt{17} < — \frac{1}{3} \sqrt{18}\). Переписываем с исходными коэффициентами: \(-5 \sqrt{8} < -9 \sqrt{2} < — \sqrt{83} < — \sqrt{17} < — \frac{1}{3} \sqrt{18}\).