ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 41 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции \(y = \frac{(1 — x)^2}{x — 1}\)?

\( y = \frac{(1 — x)^2}{x — 1} \). Первым шагом преобразуем выражение в числителе. Заметим, что \( (1 — x)^2 = (-(x — 1))^2 = (x — 1)^2 \), так как возведение в квадрат убирает знак минуса. Следовательно, исходная дробь становится \( \frac{(x — 1)^2}{x — 1} \). При этом важно помнить, что знаменатель не равен нулю, то есть \( x \neq 1 \), иначе выражение будет неопределено.

Далее сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на \( x — 1 \), что даёт \( y = x — 1 \) при \( x \neq 1 \). Однако точка \( x = 1 \) исключается из области определения функции, так как в исходном выражении знаменатель равен нулю, и функция не определена в этой точке. Это означает, что график функции будет иметь разрыв или «дыру» при \( x = 1 \).

График функции \( y = x — 1 \) — это прямая с наклоном 1, проходящая через точку \( (0; -1) \). Поскольку \( x > 0 \), график должен проходить из третьей четверти (где \( x > 0 \), \( y < 0 \)) в первую четверть (где \( x > 0 \), \( y > 0 \)). Точка \( (1; 0) \) исключена, что соответствует разрыву графика в этой точке. Таким образом, учитывая все условия, график соответствует варианту под номером 4.

а) Начинаем с выражения \(\frac{a — b}{b — a}\). Заметим, что знаменатель \(b — a\) можно переписать как \(-(a — b)\), поскольку меняя порядок вычитаемых, меняется знак. Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{a — b}{-(a — b)}\). Теперь числитель и знаменатель отличаются только знаком, поэтому их отношение равно \(-1\). Это объясняется свойством дроби: если числитель равен \(x\), а знаменатель \(-x\), то дробь равна \(-1\).

Данное преобразование использует основное правило алгебры, что изменение порядка вычитания меняет знак выражения. Важно понимать, что именно это свойство позволяет упростить выражение без вычисления конкретных значений \(a\) и \(b\). Итог: \(\frac{a — b}{b — a} = -1\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{(a — b)^2}{(b — a)^2}\). Здесь числитель и знаменатель — квадраты выражений, которые отличаются знаком. Поскольку возведение в квадрат устраняет знак минус (любое число в квадрате положительно), то \((b — a)^2 = (-(a — b))^2 = (a — b)^2\). Следовательно, числитель и знаменатель равны, и их отношение равно \(1\).

Это демонстрирует свойство степени: квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа. Такой приём часто используется для упрощения выражений, где встречаются квадраты разностей. Итог: \(\frac{(a — b)^2}{(b — a)^2} = 1\).

в) В выражении \(\frac{(a — b)^2}{b — a}\) сначала заметим, что \(b — a = -(a — b)\). Подставляя, получаем \(\frac{(a — b)^2}{-(a — b)}\). Теперь сокращаем один множитель \(a — b\) в числителе и знаменателе: \(\frac{(a — b)(a — b)}{-(a — b)} = \frac{a — b}{-1} = -(a — b) = b — a\).

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(b — a\). Здесь использовано свойство сокращения дроби, когда одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются, а также правило знаков при делении на отрицательное число. Итог: \(\frac{(a — b)^2}{b — a} = b — a\).

г) Рассмотрим дробь \(\frac{a — b}{(b — a)^2}\). Знаменатель можно переписать как \((-(a — b))^2 = (a — b)^2\), так как квадрат устраняет знак минус. Следовательно, выражение становится \(\frac{a — b}{(a — b)^2}\). Теперь можно сократить один множитель \(a — b\) в числителе и знаменателе, получая \(\frac{1}{a — b}\).

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{1}{a — b}\). Этот приём основан на сокращении степени в знаменателе и упрощении дроби. Итог: \(\frac{a — b}{(b — a)^2} = \frac{1}{a — b}\).

д) В выражении \(\frac{-a — b}{a + b}\) числитель можно представить как \(-(a + b)\), поскольку минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри. Тогда дробь принимает вид \(\frac{-(a + b)}{a + b}\). Поскольку числитель и знаменатель совпадают по модулю, но числитель с минусом, дробь равна \(-1\).

Это классический пример, где числитель — отрицательное значение знаменателя, что сразу даёт результат \(-1\). Итог: \(\frac{-a — b}{a + b} = -1\).

е) Рассмотрим выражение \(\frac{(a + b)^2}{(-(a + b))^2}\). Знаменатель — квадрат отрицательного выражения, который равен квадрату положительного, то есть \((a + b)^2\). Следовательно, числитель и знаменатель равны, и их отношение равно \(1\).

Это иллюстрирует правило, что квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа, что часто используется для упрощения дробей с квадратами. Итог: \(\frac{(a + b)^2}{(-(a + b))^2} = 1\).

ж) В выражении \(\frac{(a + b)^2}{a + b}\) можно сократить один множитель \(a + b\) в числителе и знаменателе, так как \(a + b \neq 0\). После сокращения остаётся \(a + b\).

Это стандартное упрощение дроби, где степень в числителе уменьшается на 1 при сокращении с одночленом в знаменателе. Итог: \(\frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b\).

з) Для дроби \(\frac{a — b — c}{b + c — a}\) заметим, что знаменатель можно переписать как \(-(a — b — c)\), так как меняется порядок вычитания. Тогда выражение становится \(\frac{a — b — c}{-(a — b — c)}\), что равно \(-1\), так как числитель и знаменатель отличаются знаком.

Это пример использования свойства изменения знака при перестановке слагаемых в разности, что позволяет упростить дробь до \(-1\). Итог: \(\frac{a — b — c}{b + c — a} = -1\).