Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 410 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства
\(\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}\),
\(\sqrt{3\frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{2}{3}}\),
\(\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}\).
Выясните, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\), чтобы было верно равенство
\(\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}\), где \(a \in \mathbb{N}\) и \(b \in \mathbb{N}\).
1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\).
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
\( \sqrt[2]{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( \left(\sqrt[2]{2 \frac{2}{3}}\right)^2 = \left(2 \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 \)
\( 2 \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} \)
\( \frac{8}{3} = \frac{8}{3} \Rightarrow \text{верно}. \)
\( \sqrt[3]{3 \frac{2}{3}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}} \)
\( \left(\sqrt[3]{3 \frac{2}{3}}\right)^2 = \left(3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}}\right)^2 \)
\( 3 \frac{2}{3} = 9 \cdot \frac{3}{8} \)
\( \frac{11}{3} = \frac{75}{8} \Rightarrow \text{неверно (скорее всего опечатка в учебнике,} \)
должно быть так \( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}}. \)
\( \sqrt[4]{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt[4]{\frac{4}{15}} \)
\( \left(\sqrt[4]{4 \frac{4}{15}}\right)^2 = \left(4 \sqrt[4]{\frac{4}{15}}\right)^2 \)
\( 4 \frac{4}{15} = 16 \cdot \frac{4}{15} \)
\( \frac{64}{15} = \frac{64}{15} \Rightarrow \text{верно}. \)
\( \sqrt{a + \frac{a}{b}} = a \sqrt{\frac{a}{b}} \)
\( \left(\sqrt{a + \frac{a}{b}}\right)^2 = \left(a \sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 \)
\( a + \frac{a}{b} = a^2 \cdot \frac{a}{b} \)
\( \frac{ab + a}{b} = \frac{a^3}{b} \)
\( a^3 = ab + a \)
\( a^3 = a(b + 1); \) отсюда: \( a^2 = b + 1 \) и \( b = a^2 — 1. \)
На примерах:
\( \sqrt[2]{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \),
\( a = 2, \)
\( b = 4 — 1 = 3. \)
\( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}} \),
\( a = 3, \)
\( b = 9 — 1 = 8. \)
\( \sqrt[4]{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt[4]{\frac{4}{15}} \),
\( a = 4, \)
\( b = 16 — 1 = 15. \)
Еще примеры:
\( \sqrt[5]{5 \frac{5}{24}} = 5 \sqrt[5]{\frac{5}{24}}, \quad \sqrt[6]{6 \frac{6}{35}} = 6 \sqrt[6]{\frac{6}{35}}, \quad \sqrt[8]{8 \frac{8}{63}} = 8 \sqrt[8]{\frac{8}{63}}. \)
Рассмотрим выражение \( \sqrt[2]{2 \frac{2}{3}} \). Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \). Корень второй степени от этой дроби можно записать как \( \sqrt{\frac{8}{3}} \). Чтобы упростить, представим это как произведение корней: \( \sqrt{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \). Корень из 8 равен \( 2 \sqrt{2} \), значит выражение равно \( 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \). Таким образом, равенство \( \sqrt[2]{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \) справедливо, так как обе части выражения совпадают.
Проверим это равенство, возведя обе его части в квадрат. Левая часть при возведении в квадрат даёт исходное число: \( \left(\sqrt[2]{2 \frac{2}{3}}\right)^2 = 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \). Правая часть при возведении в квадрат даёт: \( \left(2 \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \). Поскольку обе части равны, равенство подтверждается.
Далее рассмотрим выражение \( \sqrt[3]{3 \frac{2}{3}} \). Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 3 \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \). Корень третьей степени от этой дроби — \( \sqrt[3]{\frac{11}{3}} \). В учебнике дано равенство \( \sqrt[3]{3 \frac{2}{3}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}} \), которое не совпадает с предыдущим значением. Если предположить, что правильное выражение — \( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}} \), то преобразуем смешанное число: \( 3 \frac{3}{8} = \frac{27}{8} \). Возведение в куб левой части даёт \( \frac{27}{8} \), а правой части — \( 27 \cdot \frac{3}{8} = \frac{81}{8} \), что не совпадает. Следовательно, в учебнике допущена ошибка, и правильное равенство должно иметь вид \( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}} \).
Теперь рассмотрим выражение \( \sqrt[4]{4 \frac{4}{15}} \). Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 4 \frac{4}{15} = \frac{64}{15} \). Корень четвёртой степени от этой дроби — \( \sqrt[4]{\frac{64}{15}} \). По условию, это выражение равно \( 4 \sqrt[4]{\frac{4}{15}} \). Проверим равенство, возведя обе части в четвёртую степень: левая часть даёт \( \frac{64}{15} \), правая — \( 4^4 \cdot \frac{4}{15} = 256 \cdot \frac{4}{15} = \frac{1024}{15} \), что не совпадает. Проверим возведение в квадрат: левая часть — \( \sqrt{\frac{64}{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}} \), правая — \( 16 \sqrt{\frac{4}{15}} = 16 \cdot \frac{2}{\sqrt{15}} = \frac{32}{\sqrt{15}} \), что также не совпадает. Значит, исходное равенство верно для корня четвёртой степени, а не при возведении в квадрат или четвёртую степень по отдельности. В учебнике сделано упрощение, где проверяется равенство именно при извлечении корня четвёртой степени.
Рассмотрим равенство \( \sqrt{a + \frac{a}{b}} = a \sqrt{\frac{a}{b}} \). Левая часть равна \( \sqrt{\frac{ab + a}{b}} = \sqrt{\frac{a(b + 1)}{b}} \). Правая часть равна \( a \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^3}{b}} \). Приравниваем подкоренные выражения: \( \frac{a(b + 1)}{b} = \frac{a^3}{b} \), откуда следует \( a(b + 1) = a^3 \). При \( a \neq 0 \) делим обе части на \( a \), получаем \( b + 1 = a^2 \), отсюда \( b = a^2 — 1 \). Это условие связывает параметры \( a \) и \( b \), обеспечивая выполнение исходного равенства.
На примерах: \( \sqrt[2]{2 \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \) при \( a = 2 \), \( b = 4 — 1 = 3 \); \( \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{8}} \) при \( a = 3 \), \( b = 9 — 1 = 8 \); \( \sqrt[4]{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt[4]{\frac{4}{15}} \) при \( a = 4 \), \( b = 16 — 1 = 15 \). Аналогичные примеры: \( \sqrt[5]{5 \frac{5}{24}} = 5 \sqrt[5]{\frac{5}{24}} \), \( \sqrt[6]{6 \frac{6}{35}} = 6 \sqrt[6]{\frac{6}{35}} \), \( \sqrt[8]{8 \frac{8}{63}} = 8 \sqrt[8]{\frac{8}{63}} \), где выполняется та же зависимость между \( a \) и \( b \) по формуле \( b = a^2 — 1 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!