ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 411 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Площадь треугольника \(S\) см\(^2\) со сторонами \(a\) см, \(b\) см и \(c\) см можно вычислить по формуле Герона:

\(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\),

где \(p\) — полупериметр треугольника.

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

а) 12 см, 16 см, 24 см;

б) 18 см, 22 см, 26 см.

(Можете воспользоваться калькулятором.)

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.

2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.

3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

а) \(p = \frac{12 + 16 + 24}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ см}.\)
\(S = \sqrt{26(26 — 12)(26 — 16)(26 — 24)} = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2} =\)
\(= \sqrt{2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{24^2 \cdot 455} = 4 \cdot 21 \approx 84 \text{ см}^2\)

б) \(p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = \frac{66}{2} = 33 \text{ см}.\)
\(S = \sqrt{33(33 — 18)(33 — 22)(33 — 26)} = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7} =\)
\(= \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 7} = 11 \cdot 3 \cdot \sqrt{35} = 33 \cdot 6 \approx 198 \text{ см}^2.\)

Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то площадь:
\(p = \frac{2(a + b + c)}{2} = a + b + c = 2p\)
\(S = \sqrt{2p(2p — 2a)(2p — 2b)(2p — 2c)} =\) \(= \sqrt{2p \cdot 2(p — a) \cdot 2(p — b) \cdot 2(p — c)} = 4 \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = 4S\) – увеличится в 4 раза.

а) Для начала вычислим полупериметр треугольника с длинами сторон 12 см, 16 см и 24 см. Полупериметр \(p\) равен половине суммы всех сторон, то есть \(p = \frac{12 + 16 + 24}{2} = \frac{52}{2} = 26 \text{ см}\). Это значение используется в формуле Герона для вычисления площади треугольника через стороны.

Далее подставляем значения в формулу площади \(S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}\), где \(a = 12\), \(b = 16\), \(c = 24\). Получаем \(S = \sqrt{26(26 — 12)(26 — 16)(26 — 24)} = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2}\). Раскладываем множители для удобства: \(26 = 2 \cdot 13\), \(14 = 2 \cdot 7\), \(10 = 2 \cdot 5\), \(2 = 2\). Тогда \(S = \sqrt{2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{2^4 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 455} = 4 \sqrt{455}\). Приблизительно это равно \(4 \cdot 21 = 84 \text{ см}^2\).

б) Для треугольника со сторонами 18 см, 22 см и 26 см вычисляем полупериметр \(p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = \frac{66}{2} = 33 \text{ см}\). Подставляем в формулу Герона: \(S = \sqrt{33(33 — 18)(33 — 22)(33 — 26)} = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7}\). Раскладываем множители: \(33 = 11 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\), \(11\) и \(7\) остаются как есть. Значит, \(S = \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 7} = \sqrt{11^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7} = 11 \cdot 3 \sqrt{35} = 33 \sqrt{35}\). Приблизительно это равно \(33 \cdot 6 = 198 \text{ см}^2\).

Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то новые стороны будут \(2a\), \(2b\), \(2c\). Новый полупериметр равен \(p’ = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = a + b + c = 2p\). Подставляем в формулу площади:
\(S’ = \sqrt{p'(p’ — 2a)(p’ — 2b)(p’ — 2c)} = \sqrt{2p(2p — 2a)(2p — 2b)(2p — 2c)}\). Вынесем множитель 2 из каждого скобочного выражения:
\(S’ = \sqrt{2p \cdot 2(p — a) \cdot 2(p — b) \cdot 2(p — c)} = \sqrt{2^4 \cdot p(p — a)(p — b)(p — c)} =\) \(= 4 \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = 4S\). Следовательно, площадь увеличится в 4 раза при удвоении каждой стороны.