ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 413 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \(\frac{4x — 1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5 — x}{9}\);
б) \(\frac{2x — 9}{6} — \frac{2(5x + 3)}{15} = \frac{1}{2}\).

а) \( \frac{4x — 1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5 — x}{9} \quad | \cdot 36 \)
\( 3(4x — 1) + 63 = 4(5 — x) \)
\( 12x — 3 + 63 — 20 + 4x = 0 \)
\( 16x = -40 \)
\( x = \frac{-40}{16} \)
\( x = -2,5. \)

б) \( \frac{2x — 9}{6} — \frac{2(5x + 3)}{15} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 30 \)
\( 5(2x — 9) — 4(5x + 3) = 15 \)
\( 10x — 45 — 20x — 12 = 15 \)
\( -10x = 15 + 45 + 12 \)
\( -10x = 72 \)
\( x = -7,2. \)

а) Начинаем с уравнения \( \frac{4x — 1}{12} + \frac{7}{4} = \frac{5 — x}{9} \). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно 36. Это действие позволяет упростить уравнение и работать с целыми числами:
\( 36 \cdot \frac{4x — 1}{12} + 36 \cdot \frac{7}{4} = 36 \cdot \frac{5 — x}{9} \).
Выполняем умножение: \( 3(4x — 1) + 9 \cdot 7 = 4(5 — x) \), что даёт \( 3(4x — 1) + 63 = 4(5 — x) \).

Далее раскрываем скобки: \( 12x — 3 + 63 = 20 — 4x \). Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы собрать все члены с \(x\) слева, а числа — справа: \( 12x — 3 + 63 — 20 + 4x = 0 \). Суммируем подобные члены: \( 12x + 4x + (-3 + 63 — 20) = 0 \Rightarrow 16x + 40 = 0 \). Переносим 40 направо: \( 16x = -40 \). Для нахождения \(x\) делим обе части на 16: \( x = \frac{-40}{16} \). Упрощаем дробь: \( x = -2,5 \).

б) Исходное уравнение \( \frac{2x — 9}{6} — \frac{2(5x + 3)}{15} = \frac{1}{2} \) содержит три дроби с разными знаменателями. Чтобы избавиться от них, умножаем обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей — 30. Это действие упростит уравнение:
\( 30 \cdot \frac{2x — 9}{6} — 30 \cdot \frac{2(5x + 3)}{15} = 30 \cdot \frac{1}{2} \).
Выполняем умножение: \( 5(2x — 9) — 2 \cdot 2(5x + 3) = 15 \), что даёт \( 5(2x — 9) — 4(5x + 3) = 15 \).

Раскрываем скобки: \( 10x — 45 — 20x — 12 = 15 \). Объединяем подобные члены: \( (10x — 20x) + (-45 — 12) = 15 \Rightarrow -10x — 57 = 15 \). Переносим число \(-57\) направо: \( -10x = 15 + 57 \Rightarrow -10x = 72 \). Делим обе части на \(-10\), чтобы найти \(x\): \( x = \frac{72}{-10} \). Упрощаем дробь: \( x = -7,2 \).