ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 414 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\sqrt{75} + \sqrt{48} — \sqrt{300}\);
б) \(3\sqrt{8} — \sqrt{50} + 2\sqrt{18}\);
в) \(\sqrt{242} — \sqrt{200} + \sqrt{8}\);
г) \(\sqrt{75} — 0,1\sqrt{300} — \sqrt{27}\);
д) \(\sqrt{98} — \sqrt{72} + 0,5\sqrt{8}\).

а) \( \sqrt{75} + \sqrt{48} — \sqrt{300} = \sqrt{25 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} — \sqrt{100 \cdot 3} = \)
\( = 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} — 10\sqrt{3} = -\sqrt{3} \)

б) \( 3\sqrt{8} — \sqrt{50} + 2\sqrt{18} = 3\sqrt{4 \cdot 2} — \sqrt{25 \cdot 2} + 2\sqrt{9 \cdot 2} = \)
\( = 6\sqrt{2} — 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)

в) \( \sqrt{242} — \sqrt{200} + \sqrt{8} = \sqrt{121 \cdot 2} — \sqrt{100 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2} = \)
\( = 11\sqrt{2} — 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

г) \( \sqrt{75} — 0{,}1\sqrt{300} — \sqrt{27} = \sqrt{25 \cdot 3} — 0{,}1\sqrt{100 \cdot 3} — \sqrt{9 \cdot 3} = \)
\( = 5\sqrt{3} — 0{,}1 \cdot 10\sqrt{3} — 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \)

д) \( \sqrt{98} — \sqrt{72} + 0{,}5\sqrt{8} = \sqrt{49 \cdot 2} — \sqrt{36 \cdot 2} + 0{,}5\sqrt{4 \cdot 2} = \)
\( = 7\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)

а) Сначала раскладываем подкоренные выражения на произведения квадратов и других множителей для упрощения корней. Так, \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} \), \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} \), \( \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} \). Это позволяет вынести из-под корня целые числа: \( \sqrt{25} = 5 \), \( \sqrt{16} = 4 \), \( \sqrt{100} = 10 \). Далее подставляем: \( \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \), \( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \), \( \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \).

Теперь складываем и вычитаем полученные выражения: \( 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} — 10\sqrt{3} \). Поскольку все они содержат одинаковый множитель \( \sqrt{3} \), можно сложить коэффициенты: \( 5 + 4 — 10 = -1 \). В итоге получаем \( -\sqrt{3} \).

б) Аналогично раскладываем подкоренные выражения: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \), \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \), \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \). Подставляем в выражение: \( 3 \cdot 2\sqrt{2} — 5\sqrt{2} + 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} — 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} \).

Складываем коэффициенты перед \( \sqrt{2} \): \( 6 — 5 + 6 = 7 \). Итог: \( 7\sqrt{2} \).

в) Раскладываем корни: \( \sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2} \), \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \), \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \). Подставляем: \( 11\sqrt{2} — 10\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \).

Складываем коэффициенты: \( 11 — 10 + 2 = 3 \). Получаем \( 3\sqrt{2} \).

г) Раскладываем: \( \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \), \( \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \), \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \). Учитываем множитель \( 0{,}1 \) перед вторым корнем: \( 0{,}1 \cdot 10\sqrt{3} = 1\sqrt{3} \). Подставляем в выражение: \( 5\sqrt{3} — 1\sqrt{3} — 3\sqrt{3} \).

Складываем коэффициенты: \( 5 — 1 — 3 = 1 \). Итог: \( \sqrt{3} \).

д) Раскладываем: \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} \), \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \), \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). Учитываем множитель \( 0{,}5 \) перед последним корнем: \( 0{,}5 \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \). Подставляем: \( 7\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + \sqrt{2} \).

Складываем коэффициенты: \( 7 — 6 + 1 = 2 \). Получаем итоговый ответ \( 2\sqrt{2} \).