Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 415 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{8p} — \sqrt{2p} + \sqrt{18p}\);
б) \(\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} — 3\sqrt{90c}\);
в) \(5\sqrt{27m} — 4\sqrt{48m} — 2\sqrt{12m}\);
г) \(\sqrt{54} — \sqrt{24} + \sqrt{150}\);
д) \(3\sqrt{2} + \sqrt{32} — \sqrt{200}\);
е) \(2\sqrt{72} — \sqrt{50} — 2\sqrt{8}\).
а) \( \sqrt{8p} — \sqrt{2p} + \sqrt{18p} = \sqrt{4 \cdot 2p} — \sqrt{2p} + \sqrt{9 \cdot 2p} = \)
\( = 2\sqrt{2p} — \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p} \)
б) \( \sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} — 3\sqrt{90c} = \sqrt{16 \cdot 10c} + 2\sqrt{4 \cdot 10c} — 3\sqrt{9 \cdot 10c} = \)
\( = 4\sqrt{10c} + 4\sqrt{10c} — 9\sqrt{10c} = -\sqrt{10c} \)
в) \( 5\sqrt{27m} — 4\sqrt{48m} — 2\sqrt{12m} = 5\sqrt{9 \cdot 3m} — 4\sqrt{16 \cdot 3m} — 2\sqrt{4 \cdot 3m} = \)
\( = 15\sqrt{3m} — 16\sqrt{3m} — 4\sqrt{3m} = -5\sqrt{3m} \)
г) \( \sqrt{54} — \sqrt{24} + \sqrt{150} = \sqrt{9 \cdot 6} — \sqrt{4 \cdot 6} + \sqrt{25 \cdot 6} = \)
\( = 3\sqrt{6} — 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \)
д) \( 3\sqrt{12} + \sqrt{32} — \sqrt{200} = 3\sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 2} — \sqrt{100 \cdot 2} = \)
\( = 6\sqrt{3} + 4\sqrt{2} — 10\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
е) \( 2\sqrt{72} — \sqrt{50} — 2\sqrt{8} = 2\sqrt{36 \cdot 2} — \sqrt{25 \cdot 2} — 2\sqrt{4 \cdot 2} = \)
\( = 12\sqrt{2} — 5\sqrt{2} — 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
а) В этом выражении мы имеем сумму и разность корней с одинаковым подкоренным выражением \(p\), но с разными коэффициентами под корнем. Для начала раскроем корни, выделяя полный квадрат из подкоренных выражений: \( \sqrt{8p} = \sqrt{4 \cdot 2p} = 2\sqrt{2p} \), \( \sqrt{2p} \) оставляем без изменений, а \( \sqrt{18p} = \sqrt{9 \cdot 2p} = 3\sqrt{2p} \). Теперь выражение выглядит как \( 2\sqrt{2p} — \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p} \).
Далее, поскольку все слагаемые содержат одинаковый корень \( \sqrt{2p} \), мы можем их сложить, складывая коэффициенты: \( 2 — 1 + 3 = 4 \). В итоге получаем \( 4\sqrt{2p} \), что и является окончательным ответом.
б) В этом примере работа идет с корнями, содержащими переменную \(c\), умноженную на разные числа. Сначала разложим подкоренные выражения на произведения квадратов и остальных множителей: \( \sqrt{160c} = \sqrt{16 \cdot 10c} = 4\sqrt{10c} \), \( 2\sqrt{40c} = 2\sqrt{4 \cdot 10c} = 2 \cdot 2\sqrt{10c} = 4\sqrt{10c} \), \( 3\sqrt{90c} = 3\sqrt{9 \cdot 10c} = 3 \cdot 3\sqrt{10c} = 9\sqrt{10c} \).
Складываем и вычитаем слагаемые с одинаковым корнем: \( 4\sqrt{10c} + 4\sqrt{10c} — 9\sqrt{10c} = (4 + 4 — 9)\sqrt{10c} = -\sqrt{10c} \).
в) Здесь выражение содержит корни с переменной \(m\) и разными коэффициентами. Разложим каждый корень: \( 5\sqrt{27m} = 5\sqrt{9 \cdot 3m} = 5 \cdot 3\sqrt{3m} = 15\sqrt{3m} \), \( 4\sqrt{48m} = 4\sqrt{16 \cdot 3m} = 4 \cdot 4\sqrt{3m} = 16\sqrt{3m} \), \( 2\sqrt{12m} = 2\sqrt{4 \cdot 3m} = 2 \cdot 2\sqrt{3m} = 4\sqrt{3m} \).
Теперь складываем и вычитаем: \( 15\sqrt{3m} — 16\sqrt{3m} — 4\sqrt{3m} = (15 — 16 — 4)\sqrt{3m} = -5\sqrt{3m} \).
г) В этом примере корни содержат числа без переменных, что упрощает вычисления. Разложим корни: \( \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6} \), \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \), \( \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} \).
Складываем и вычитаем корни с одинаковым подкоренным выражением: \( 3\sqrt{6} — 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = (3 — 2 + 5)\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \).
д) В этом пункте корни содержат переменную подкоренного выражения, но с разными коэффициентами. Раскроем корни: \( 3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \), \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \), \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \).
Сложим и вычтем: \( 6\sqrt{3} + 4\sqrt{2} — 10\sqrt{2} = 6\sqrt{3} — 6\sqrt{2} \). Поскольку корни разные, оставляем выражение в таком виде. Ошибка в исходном ответе: в конце должно быть \( 6\sqrt{3} — 6\sqrt{2} \), а не \( 3\sqrt{2} \).
е) Здесь корни с разными коэффициентами и числами. Раскроем корни: \( 2\sqrt{72} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \), \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \), \( 2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \).
Выполним операции: \( 12\sqrt{2} — 5\sqrt{2} — 4\sqrt{2} = (12 — 5 — 4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!