ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 416 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:
а) \((x + \sqrt{y})(x — \sqrt{y})\);
б) \((\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\);
в) \((11 — 3)(11 + 3)\);
г) \((\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} — \sqrt{10})\);
д) \((a + b)^2\);
е) \((\sqrt{m} — \sqrt{n})^2\);
ж) \((\sqrt{2} + 3)^2\);
з) \((\sqrt{5} — \sqrt{2})^2\).

а) \((x + \sqrt{y})(x — \sqrt{y}) = x^2 — y\)

б) \((\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a — b\)

в) \((\sqrt{11} — 3)(\sqrt{11} + 3) = 11 — 9 = 3\)

г) \((\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} — \sqrt{10}) = 7 — 10 = -3\)

д) \(\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\)

е) \(\left(\sqrt{m} — \sqrt{n}\right)^2 = m — 2\sqrt{mn} + n\)

ж) \(\left(\sqrt{2} + 3\right)^2 = 2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 9 = 11 + 6\sqrt{2}\)

з) \(\left(\sqrt{5} — \sqrt{2}\right)^2 = 5 — 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2 = 7 — 2\sqrt{10}\)

а) В этом выражении перемножаются два бинома, один из которых содержит сумму \(x + \sqrt{y}\), а другой — разность \(x — \sqrt{y}\). По формуле разности квадратов, произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. То есть \( (x + \sqrt{y})(x — \sqrt{y}) = x^2 — (\sqrt{y})^2 \). Поскольку квадрат корня из \(y\) равен самому \(y\), получаем \(x^2 — y\). Это упрощение основано на базовом свойстве степеней и корней.

б) Здесь аналогичная ситуация, только перемножаются выражения с корнями \( \sqrt{a} \) и \( \sqrt{b} \). Применяем ту же формулу разности квадратов: \( (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 — (\sqrt{b})^2 \). Возводя корни в квадрат, получаем \(a — b\). Это стандартное упрощение, позволяющее избавиться от корней при умножении разности и суммы.

в) В этом примере подставлены конкретные числовые значения: \( \sqrt{11} \) и 3. Перемножение выражений \( (\sqrt{11} — 3)(\sqrt{11} + 3) \) снова сводится к формуле разности квадратов. Получаем \( (\sqrt{11})^2 — 3^2 = 11 — 9 = 2 \). Однако на изображении указан результат 3, значит, вероятно, опечатка в исходном примере или в изображении. Следуя формуле, правильный ответ — 2.

г) Здесь перемножаются \( (\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} — \sqrt{10}) \). Чтобы упростить, раскрываем скобки: \( \sqrt{10} \cdot \sqrt{7} — (\sqrt{10})^2 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} — \sqrt{7} \cdot \sqrt{10} \). Слагаемые \( \sqrt{10} \cdot \sqrt{7} \) и \( — \sqrt{7} \cdot \sqrt{10} \) взаимно уничтожаются, остаётся \( (\sqrt{7})^2 — (\sqrt{10})^2 = 7 — 10 = -3 \). Это демонстрирует, что порядок умножения и знаки важны для правильного результата.

д) Раскрываем квадрат суммы \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \) по формуле квадрата суммы: \( (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \). Возводим корни в квадрат, получаем \( a + 2\sqrt{ab} + b \). Этот приём часто используется для упрощения выражений с корнями и позволяет выразить результат без скобок.

е) Аналогично предыдущему пункту, раскрываем квадрат разности \( (\sqrt{m} — \sqrt{n})^2 \) по формуле квадрата разности: \( (\sqrt{m})^2 — 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 \). Это даёт \( m — 2\sqrt{mn} + n \). Такой приём помогает избежать произведений корней в итоговом выражении.

ж) В этом примере раскрывается квадрат суммы с числами и корнем: \( (\sqrt{2} + 3)^2 \). Применяем формулу квадрата суммы: \( (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 \). Возводим в квадрат: \( 2 + 6\sqrt{2} + 9 \). Складываем числа: \( 11 + 6\sqrt{2} \). Это показывает, как можно работать с выражениями, содержащими как рациональные числа, так и корни.

з) Раскрываем квадрат разности \( (\sqrt{5} — \sqrt{2})^2 \) по формуле квадрата разности: \( (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \). Возводим в квадрат и перемножаем корни: \( 5 — 2\sqrt{10} + 2 \). Складываем числа: \( 7 — 2\sqrt{10} \). Это упрощение часто используется для рационализации выражений с корнями.