Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 417 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните действия:
а) \((2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} — 1)\);
б) \((5\sqrt{7} — 13)(13 + 5\sqrt{7})\);
в) \((3\sqrt{2} — 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})\);
г) \((1 + 3\sqrt{5})^2\);
д) \((2\sqrt{3} — 7)^2\);
е) \((2\sqrt{10} — \sqrt{2})^2\).
а) \(\left(2\sqrt{5}+1\right)\left(2\sqrt{5}-1\right) = 4 \cdot 5 — 1 = 20 — 1 = 19\)
б) \(\left(5\sqrt{7} — \sqrt{13}\right)\left(\sqrt{13} + 5\sqrt{7}\right) = 25 \cdot 7 — 13 = 175 — 13 = 162\)
в) \(\left(3\sqrt{2} — 2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right) = 9 \cdot 2 — 4 \cdot 3 = 18 — 12 = 6\)
г) \(\left(1 + 3\sqrt{5}\right)^2 = 1 + 2 \cdot 3\sqrt{5} + 9 \cdot 5 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}\)
д) \(\left(2\sqrt{3} — 7\right)^2 = 4 \cdot 3 — 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 + 49 = 12 — 28\sqrt{3} + 49 =\)
\(= 61 — 28\sqrt{3}\)
е) \(\left(2\sqrt{10} — \sqrt{2}\right)^2 = 4 \cdot 10 — 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + 2 =\)
\(= 40 — 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 2 = 42 — 8\sqrt{5}\)
а) Сначала рассмотрим выражение \(\left(2\sqrt{5}+1\right)\left(2\sqrt{5}-1\right)\). Это произведение двух выражений, которые отличаются знаком между слагаемыми, то есть оно имеет вид разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 — b^2\). Здесь \(a = 2\sqrt{5}\), а \(b = 1\). Возводим \(a\) в квадрат: \(\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \cdot 5 = 20\), а \(b^2 = 1^2 = 1\). Тогда разность квадратов равна \(20 — 1\).
Следовательно, итоговое значение равно \(19\). Этот способ упрощения позволяет избежать раскрытия скобок по формуле умножения многочленов и сразу получить результат, используя известное тождество. Таким образом, мы применили формулу разности квадратов для быстрого вычисления.
б) В выражении \(\left(5\sqrt{7} — \sqrt{13}\right)\left(\sqrt{13} + 5\sqrt{7}\right)\) видим, что множители взаимно обратны по знаку, то есть опять применяется формула разности квадратов: \((x — y)(y + x) = x^2 — y^2\). Здесь \(x = 5\sqrt{7}\), \(y = \sqrt{13}\). Возводим \(x\) в квадрат: \(\left(5\sqrt{7}\right)^2 = 25 \cdot 7 = 175\), а \(y^2 = \left(\sqrt{13}\right)^2 = 13\).
Вычитая, получаем \(175 — 13 = 162\). Таким образом, мы воспользовались формулой разности квадратов, чтобы упростить произведение без раскрытия скобок, что значительно сокращает вычисления.
в) Рассмотрим произведение \(\left(3\sqrt{2} — 2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right)\). Здесь раскрываем скобки по формуле умножения двух двучленов: \((a — b)(c + d) = ac + ad — bc — bd\), но в данном случае \(a = 3\sqrt{2}\), \(b = 2\sqrt{3}\), \(c = 2\sqrt{3}\), \(d = 3\sqrt{2}\).
Перемножаем: \(3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{6}\), \(3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18\), \(-2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = -4 \cdot 3 = -12\), \(-2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = -6\sqrt{6}\). Суммируем: \(6\sqrt{6} — 6\sqrt{6} = 0\), остаются только числа \(18 — 12 = 6\).
Таким образом, произведение упрощается до числа 6, так как иррациональные части взаимно уничтожаются.
г) Выражение \(\left(1 + 3\sqrt{5}\right)^2\) возводится в квадрат по формуле квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Здесь \(a = 1\), \(b = 3\sqrt{5}\).
Вычисляем каждый член: \(a^2 = 1^2 = 1\), \(2ab = 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\), \(b^2 = \left(3\sqrt{5}\right)^2 = 9 \cdot 5 = 45\). Складываем: \(1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}\).
Это полное раскрытие квадрата двучлена, где выделенная иррациональная часть сохраняется.
д) В выражении \(\left(2\sqrt{3} — 7\right)^2\) применяем формулу квадрата разности: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = 2\sqrt{3}\), \(b = 7\).
Вычисляем: \(a^2 = \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4 \cdot 3 = 12\), \(2ab = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 = 28\sqrt{3}\), \(b^2 = 7^2 = 49\). Подставляем: \(12 — 28\sqrt{3} + 49\).
Складываем числа: \(12 + 49 = 61\), итог выражения: \(61 — 28\sqrt{3}\). Иррациональная часть остается, так как она не сокращается.
е) Для \(\left(2\sqrt{10} — \sqrt{2}\right)^2\) используем формулу квадрата разности: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = 2\sqrt{10}\), \(b = \sqrt{2}\).
Вычисляем: \(a^2 = \left(2\sqrt{10}\right)^2 = 4 \cdot 10 = 40\), \(2ab = 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{20}\). Корень \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\), значит \(4\sqrt{20} = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\). \(b^2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\).
Подставляем: \(40 — 8\sqrt{5} + 2\), складываем числа: \(40 + 2 = 42\). Итог: \(42 — 8\sqrt{5}\). Иррациональная часть сохраняется, потому что она не сокращается с другими слагаемыми.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!