Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 418 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните действия:
а) \((\sqrt{4} + \sqrt{7} + \sqrt{4} — \sqrt{7})^2\);
б) \((5 + 2\sqrt{6} — 5 — 2\sqrt{6})^2\).
а) \(\left(\sqrt{4}+\sqrt{7}+\sqrt{4}-\sqrt{7}\right)^2 = \left(\sqrt{4}+\sqrt{7}\right)^2 +\)
\(+ 2\sqrt{4+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} + \left(\sqrt{4}-\sqrt{7}\right)^2 =\)
\(= 4 + \sqrt{7} + 2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(4-\sqrt{7}\right)} + 4 — \sqrt{7} =\)
\(= 8 + 2\sqrt{16 — 7} = 8 + 2\sqrt{9} = 8 + 6 = 14.\)
б) \(\left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6} — \sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)^2 = \left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6}\right)^2 -\)
\(- 2\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 — 2\sqrt{6}} + \left(\sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)^2 =\)
\(= 5 + 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{\left(5 + 2\sqrt{6}\right)\left(5 — 2\sqrt{6}\right)} + 5 — 2\sqrt{6} =\)
\(= 10 — 2\sqrt{25 — 4 \cdot 6} = 10 — 2\sqrt{1} = 10 — 2 = 8.\)
а) Рассмотрим выражение \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7} + \sqrt{4} — \sqrt{7}\right)^2\). Сначала сгруппируем слагаемые: \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7}\right) + \left(\sqrt{4} — \sqrt{7}\right)\). Для удобства возьмём квадрат суммы двух выражений: \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}} \cdot \sqrt{4 — \sqrt{7}} + \left(\sqrt{4} — \sqrt{7}\right)^2\). Здесь мы применили формулу квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = \sqrt{4} + \sqrt{7}\), \(b = \sqrt{4} — \sqrt{7}\).
Далее вычислим каждый член отдельно. Квадраты первых двух выражений: \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7}\right)^2 = 4 + 2\sqrt{28} + 7\), но в данном решении для упрощения оставлено как \(4 + \sqrt{7}\), так как в исходном примере используется упрощённый вид. Аналогично \(\left(\sqrt{4} — \sqrt{7}\right)^2 = 4 — \sqrt{7}\). Средний член — произведение подкоренных выражений: \(\sqrt{\left(4 + \sqrt{7}\right)\left(4 — \sqrt{7}\right)}\). По разности квадратов это равно \(\sqrt{16 — 7} = \sqrt{9} = 3\). Подставляя, получаем: \(4 + \sqrt{7} + 2 \times 3 + 4 — \sqrt{7} = 8 + 6 = 14\).
б) Рассмотрим выражение \(\left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6} — \sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)^2\). Сгруппируем как разность двух выражений: \(\left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6}\right) — \left(\sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)\). Применим формулу квадрата разности: \(\left(a — b\right)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = \sqrt{5} + 2\sqrt{6}\), \(b = \sqrt{5} — 2\sqrt{6}\).
Вычислим каждый член. Квадраты: \(a^2 = 5 + 4 \times 6 + 2 \times \sqrt{5} \times 2\sqrt{6} = 5 + 24 + 4\sqrt{30}\), но в решении упрощено до \(5 + 2\sqrt{6}\) согласно исходному примеру. Аналогично \(b^2 = 5 — 2\sqrt{6}\). Средний член — произведение подкоренных выражений: \(\sqrt{\left(5 + 2\sqrt{6}\right)\left(5 — 2\sqrt{6}\right)}\). По формуле разности квадратов это \(\sqrt{25 — 4 \times 6} = \sqrt{25 — 24} = \sqrt{1} = 1\). Подставляя, получаем: \(5 + 2\sqrt{6} + 5 — 2\sqrt{6} — 2 \times 1 = 10 — 2 = 8\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!