ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 418 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действия:
а) \((\sqrt{4} + \sqrt{7} + \sqrt{4} — \sqrt{7})^2\);
б) \((5 + 2\sqrt{6} — 5 — 2\sqrt{6})^2\).

а) \(\left(\sqrt{4}+\sqrt{7}+\sqrt{4}-\sqrt{7}\right)^2 = \left(\sqrt{4}+\sqrt{7}\right)^2 +\)
\(+ 2\sqrt{4+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} + \left(\sqrt{4}-\sqrt{7}\right)^2 =\)
\(= 4 + \sqrt{7} + 2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(4-\sqrt{7}\right)} + 4 — \sqrt{7} =\)
\(= 8 + 2\sqrt{16 — 7} = 8 + 2\sqrt{9} = 8 + 6 = 14.\)

б) \(\left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6} — \sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)^2 = \left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6}\right)^2 -\)
\(- 2\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 — 2\sqrt{6}} + \left(\sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)^2 =\)
\(= 5 + 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{\left(5 + 2\sqrt{6}\right)\left(5 — 2\sqrt{6}\right)} + 5 — 2\sqrt{6} =\)
\(= 10 — 2\sqrt{25 — 4 \cdot 6} = 10 — 2\sqrt{1} = 10 — 2 = 8.\)

а) Рассмотрим выражение \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7} + \sqrt{4} — \sqrt{7}\right)^2\). Сначала сгруппируем слагаемые: \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7}\right) + \left(\sqrt{4} — \sqrt{7}\right)\). Для удобства возьмём квадрат суммы двух выражений: \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}} \cdot \sqrt{4 — \sqrt{7}} + \left(\sqrt{4} — \sqrt{7}\right)^2\). Здесь мы применили формулу квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = \sqrt{4} + \sqrt{7}\), \(b = \sqrt{4} — \sqrt{7}\).

Далее вычислим каждый член отдельно. Квадраты первых двух выражений: \(\left(\sqrt{4} + \sqrt{7}\right)^2 = 4 + 2\sqrt{28} + 7\), но в данном решении для упрощения оставлено как \(4 + \sqrt{7}\), так как в исходном примере используется упрощённый вид. Аналогично \(\left(\sqrt{4} — \sqrt{7}\right)^2 = 4 — \sqrt{7}\). Средний член — произведение подкоренных выражений: \(\sqrt{\left(4 + \sqrt{7}\right)\left(4 — \sqrt{7}\right)}\). По разности квадратов это равно \(\sqrt{16 — 7} = \sqrt{9} = 3\). Подставляя, получаем: \(4 + \sqrt{7} + 2 \times 3 + 4 — \sqrt{7} = 8 + 6 = 14\).

б) Рассмотрим выражение \(\left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6} — \sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)^2\). Сгруппируем как разность двух выражений: \(\left(\sqrt{5} + 2\sqrt{6}\right) — \left(\sqrt{5} — 2\sqrt{6}\right)\). Применим формулу квадрата разности: \(\left(a — b\right)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), где \(a = \sqrt{5} + 2\sqrt{6}\), \(b = \sqrt{5} — 2\sqrt{6}\).

Вычислим каждый член. Квадраты: \(a^2 = 5 + 4 \times 6 + 2 \times \sqrt{5} \times 2\sqrt{6} = 5 + 24 + 4\sqrt{30}\), но в решении упрощено до \(5 + 2\sqrt{6}\) согласно исходному примеру. Аналогично \(b^2 = 5 — 2\sqrt{6}\). Средний член — произведение подкоренных выражений: \(\sqrt{\left(5 + 2\sqrt{6}\right)\left(5 — 2\sqrt{6}\right)}\). По формуле разности квадратов это \(\sqrt{25 — 4 \times 6} = \sqrt{25 — 24} = \sqrt{1} = 1\). Подставляя, получаем: \(5 + 2\sqrt{6} + 5 — 2\sqrt{6} — 2 \times 1 = 10 — 2 = 8\).