ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 419 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение:
а) \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} — 1)\);
б) \((x — \sqrt{a})(x + \sqrt{a})\);
в) \((m + \sqrt{2})^2\);
г) \((3 — \sqrt{x})^2\);
д) \((5\sqrt{7} — 13)(5\sqrt{7} + 13)\);
е) \((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} — 3\sqrt{3})\);
ж) \((6 — \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}\);
з) \((\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 — 30\).

а) \(\left(\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}\right) = x — 1\)

б) \(\left(\sqrt{x} — \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{a}\right) = x — a\)

в) \(\left(\sqrt{m} + \sqrt{2}\right)^2 = m + 2\sqrt{m} \cdot \sqrt{2} + 2 = m + 2\sqrt{2m} + 2\)

г) \(\left(\sqrt{3} — \sqrt{x}\right)^2 = 3 — 2\sqrt{3}\sqrt{x} + x = 3 — 2\sqrt{3x} + x\)

д) \(\left(5\sqrt{7} — 13\right)\left(5\sqrt{7} + 13\right) = 25 \cdot 7 — 169 = 175 — 169 = 6\)

е) \(\left(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2} — 3\sqrt{3}\right) = 4 \cdot 2 — 9 \cdot 3 = 8 — 27 = -19\)

ж) \(\left(6 — \sqrt{2}\right)^2 + 3\sqrt{32} = 36 — 12\sqrt{2} + 2 + 3\sqrt{16 \cdot 2} =\)
\(= 38 — 12\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 38\)

з) \(\left(\sqrt{2} + \sqrt{18}\right)^2 — 30 = 2 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + 18 — 30 =\)
\(= 2 + 2\sqrt{36} + 18 — 30 = 2\sqrt{36} — 10 = 12 — 10 = 2\)

а) Рассмотрим произведение \(\left(\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x-1}\right)\). По свойству корня из произведения оно равно \(\sqrt{(x+1)(x-1)}\). Раскроем скобки под корнем: \((x+1)(x-1) = x^2 — 1\). Следовательно, выражение принимает вид \(\sqrt{x^2 — 1}\). Поскольку \(x \geq 1\), корень можно упростить до \(\sqrt{x^2 — 1} = x — 1\), что и подтверждается равенством.

б) В выражении \(\left(\sqrt{x} — \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{a}\right)\) применим формулу разности квадратов: \((A — B)(A + B) = A^2 — B^2\), где \(A = \sqrt{x}\), \(B = \sqrt{a}\). Тогда получаем \(x — a\), так как \((\sqrt{x})^2 = x\) и \((\sqrt{a})^2 = a\). Это стандартное преобразование, позволяющее избавиться от корней.

в) Раскроем квадрат суммы \(\left(\sqrt{m} + \sqrt{2}\right)^2\) по формуле \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\). Здесь \(A = \sqrt{m}\), \(B = \sqrt{2}\). Получаем \(m + 2\sqrt{m} \cdot \sqrt{2} + 2\). Перемножение подкоренных выражений даёт \(\sqrt{m} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2m}\), поэтому итоговое выражение — \(m + 2\sqrt{2m} + 2\).

г) При возведении в квадрат разности \(\left(\sqrt{3} — \sqrt{x}\right)^2\) используем формулу \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\), где \(A = \sqrt{3}\), \(B = \sqrt{x}\). Получаем \(3 — 2\sqrt{3}\sqrt{x} + x\). Произведение подкоренных можно записать как \(\sqrt{3x}\), поэтому итоговое выражение равно \(3 — 2\sqrt{3x} + x\).

д) В произведении \(\left(5\sqrt{7} — 13\right)\left(5\sqrt{7} + 13\right)\) снова применяем формулу разности квадратов: \(A^2 — B^2\), где \(A = 5\sqrt{7}\), \(B = 13\). Возводим в квадрат: \((5\sqrt{7})^2 = 25 \cdot 7 = 175\), \(13^2 = 169\). Разность даёт \(175 — 169 = 6\).

е) Выражение \(\left(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2} — 3\sqrt{3}\right)\) — это произведение суммы и разности, равное разности квадратов: \((2\sqrt{2})^2 — (3\sqrt{3})^2\). Возводим в квадрат: \(4 \cdot 2 = 8\) и \(9 \cdot 3 = 27\). Разность равна \(8 — 27 = -19\).

ж) Раскроем квадрат \(\left(6 — \sqrt{2}\right)^2\) по формуле \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\), где \(A = 6\), \(B = \sqrt{2}\). Получаем \(36 — 12\sqrt{2} + 2\). Далее добавляем \(3\sqrt{32}\), где \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\), значит \(3\sqrt{32} = 12\sqrt{2}\). Сложение даёт \(36 — 12\sqrt{2} + 2 + 12\sqrt{2} = 38\), так как отрицательные и положительные слагаемые с \(\sqrt{2}\) взаимно уничтожаются.

з) Возьмём выражение \(\left(\sqrt{2} + \sqrt{18}\right)^2 — 30\). Применим формулу квадрата суммы: \(2 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + 18 — 30\). Произведение подкоренных даёт \(\sqrt{36} = 6\), следовательно, выражение становится \(2 + 2 \cdot 6 + 18 — 30 = 2 + 12 + 18 — 30\). Суммируем: \(2 + 12 = 14\), \(14 + 18 = 32\), \(32 — 30 = 2\). Итог равен 2.