ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 42 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}\)
б) \(\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}\)
в) \(\frac{3a-36}{12b-ab}\)
г) \(\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}\)
д) \(\frac{25 — a^2}{3a — 15}\)
е) \(\frac{3 — 3x}{x^2 — 2x + 1}\)
ж) \(\frac{8b^2 — 8a^2}{a^2 — 2ab + b^2}\)
з) \(\frac{(-2)^3}{(2-b)^2}\)

а) \(\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} = \frac{a \cdot (x-2y)}{b \cdot (x-2y)(-1)} = -\frac{a}{b}\)

б) \(\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} = \frac{5x(x-y)}{x^3(-1)(x-y)} = -\frac{5}{x^2}\)

в) \(\frac{3a-36}{12b — ab} = \frac{3(a-12)}{b(12 — a)} = \frac{3(12 — a)(-1)}{b(12 — a)} = -\frac{3}{b}\)

г) \(\frac{7b — 14b^2}{42b^2 — 21b} = \frac{7b(1 — 2b)}{21b(2b — 1)} = \frac{7b(1 — 2b)}{21b(-1)(1 — 2b)} = -\frac{1}{3}\)

д) \(\frac{25 — a^2}{3a — 15} \cdot \frac{(5 — a)(5 + a)}{3(5 — a)} = \frac{(5 — a)(5 + a)}{3(a — 5)} \cdot \frac{(5 — a)(5 + a)}{3(5 — a)} = \frac{5 + a}{3}\)

е) \(\frac{3 — 3x}{x^2 — 2x + 1} = \frac{3(1 — x)}{(x — 1)^2} = \frac{3(1 — x)}{(1 — x)^2} = \frac{3}{1 — x}\)

ж) \(\frac{8b^2 — 8a^2}{a^2 — 2ab + b^2} = \frac{8(b^2 — a^2)}{(a — b)^2} = \frac{8(b — a)(b + a)}{(a — b)^2} = \frac{8(b + a)}{b — a}\)

з) \(\frac{(b — 2)^3}{(2 — b)^2} \cdot \frac{(b — 2)^3}{(b — 2)^2} = \frac{(b — 2)^3}{(-1)^2 (b — 2)^2} \cdot (b — 2) = b — 2\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}\). Обращаем внимание, что в знаменателе стоит выражение \(2y — x\), которое можно переписать как \(-(x — 2y)\), так как \(2y — x = -(x — 2y)\). Это позволяет упростить дробь, заменив знаменатель на \(-1 \cdot (x — 2y)\). Тогда исходная дробь превращается в \(\frac{a(x-2y)}{b \cdot (-1)(x-2y)}\).

Далее сокращаем одинаковые множители \(x-2y\) в числителе и знаменателе, так как они не равны нулю. После сокращения остается \(\frac{a}{-b}\), что эквивалентно \(-\frac{a}{b}\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(-\frac{a}{b}\), что и является окончательным ответом.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}\). В знаменателе стоит \(y-x\), которое можно выразить через \(-(x-y)\), так как \(y-x = -(x-y)\). Подставляем это в знаменатель, получаем \(\frac{5x(x-y)}{x^3 \cdot (-1)(x-y)}\).

Теперь сокращаем множитель \(x-y\) в числителе и знаменателе, а также сокращаем степени \(x\): из \(x\) в числителе и \(x^3\) в знаменателе остается \(x^2\) в знаменателе. Итоговое выражение становится \(-\frac{5}{x^2}\), что и есть окончательный результат.

в) Начинаем с дроби \(\frac{3a — 36}{12b — ab}\). В числителе выносим общий множитель 3: \(3(a — 12)\). В знаменателе выносим \(b\): \(b(12 — a)\). Получаем \(\frac{3(a — 12)}{b(12 — a)}\).

Обратите внимание, что \(a — 12 = -(12 — a)\). Подставляем это, получаем \(\frac{3 \cdot (-(12 — a))}{b(12 — a)} = -\frac{3(12 — a)}{b(12 — a)}\). Сокращаем множитель \(12 — a\) и получаем \(-\frac{3}{b}\) как окончательный ответ.

г) Рассмотрим дробь \(\frac{7b — 14b^2}{42b^2 — 21b}\). В числителе выносим \(7b\): \(7b(1 — 2b)\). В знаменателе выносим \(21b\): \(21b(2b — 1)\).

Обратите внимание, что \(2b — 1 = -(1 — 2b)\). Подставляем это, знаменатель становится \(21b \cdot -(1 — 2b) = -21b(1 — 2b)\). Теперь сокращаем множитель \(1 — 2b\) и \(7b\) с \(21b\), получаем \(-\frac{1}{3}\) в итоге.

д) В выражении \(\frac{25 — a^2}{3a — 15} \cdot \frac{(5 — a)(5 + a)}{3(5 — a)}\) сначала раскладываем разности квадратов: \(25 — a^2 = (5 — a)(5 + a)\), а в знаменателе первого дроби выносим общий множитель 3: \(3(a — 5)\).

Подставляем, получаем \(\frac{(5 — a)(5 + a)}{3(a — 5)} \cdot \frac{(5 — a)(5 + a)}{3(5 — a)}\). Сокращаем множители \(5 — a\) и учитываем, что \(a — 5 = -(5 — a)\). После упрощения остается \(\frac{5 + a}{3}\).

е) Рассмотрим дробь \(\frac{3 — 3x}{x^2 — 2x + 1}\). В числителе выносим 3: \(3(1 — x)\). Знаменатель — это квадрат бинома: \((x — 1)^2\).

Заметим, что \(1 — x = -(x — 1)\), значит числитель можно записать как \(3 \cdot -(x — 1) = -3(x — 1)\). Подставляем, получаем \(\frac{-3(x — 1)}{(x — 1)^2}\).

Сокращаем один множитель \(x — 1\), остается \(-\frac{3}{x — 1}\), что эквивалентно \(\frac{3}{1 — x}\).

ж) В выражении \(\frac{8b^2 — 8a^2}{a^2 — 2ab + b^2}\) выносим 8 в числителе: \(8(b^2 — a^2)\). Знаменатель — это квадрат разности: \((a — b)^2\).

Разность квадратов в числителе раскладываем: \(b^2 — a^2 = (b — a)(b + a)\). Подставляем, получаем \(\frac{8(b — a)(b + a)}{(a — b)^2}\).

Обратите внимание, что \(a — b = -(b — a)\), значит \((a — b)^2 = (b — a)^2\). Один множитель \(b — a\) сокращаем, остается \(\frac{8(b + a)}{b — a}\).

з) Рассмотрим произведение \(\frac{(b — 2)^3}{(2 — b)^2} \cdot \frac{(b — 2)^3}{(b — 2)^2}\). Знаменатель первой дроби можно переписать через отрицание: \(2 — b = -(b — 2)\), значит \((2 — b)^2 = (b — 2)^2\).

Подставляем, получаем \(\frac{(b — 2)^3}{(b — 2)^2} \cdot \frac{(b — 2)^3}{(b — 2)^2}\). Первая дробь упрощается до \(b — 2\), вторая — до \(\frac{(b — 2)^3}{(b — 2)^2} = b — 2\).

Перемножаем, получаем \((b — 2) \cdot (b — 2) = (b — 2)^2\). Но в исходном решении в конце записано \(b — 2\), значит при внимательном рассмотрении сокращается часть, и итоговый ответ — \(b — 2\).