ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 420 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:
а) \(x^2 — 7\);
б) \(5^2 — c^2\);
в) \(4a^2 — 3\);
г) \(11 — 16b^2\);
д) \(y^2 — 3\), где \(y > 0\);
е) \(x^2 — y^2\), где \(x > 0\) и \(y > 0\).

а) \(x^2 — 7 = (x — \sqrt{7})(x + \sqrt{7})\)
б) \(5 — c^2 = (\sqrt{5} — c)(\sqrt{5} + c)\)
в) \(4a^2 — 3 = (2a — \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})\)
г) \(11 — 16b^2 = (\sqrt{11} — 4b)(\sqrt{11} + 4b)\)
д) \(y — 3 = (\sqrt{y} — \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3}), \quad y \geq 0\)
е) \(x — y = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}), \quad x > 0, y > 0\)

а) Выражение \(x^2 — 7\) можно представить в виде разности квадратов, так как \(7 = (\sqrt{7})^2\). Разность квадратов раскладывается по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = x\), а \(b = \sqrt{7}\). Следовательно, \(x^2 — 7 = (x — \sqrt{7})(x + \sqrt{7})\). Это разложение позволяет упростить выражение и использовать его в дальнейших вычислениях, например, при решении уравнений.

Данный способ разложения полезен, когда нужно найти корни многочлена или упростить выражение. Важно помнить, что корень под знаком радикала должен быть неотрицательным, но так как \(\sqrt{7}\) — константа, это условие выполняется автоматически.

б) В выражении \(5 — c^2\) также используется формула разности квадратов, где \(5 = (\sqrt{5})^2\). Здесь \(a = \sqrt{5}\), \(b = c\). По формуле получаем \(5 — c^2 = (\sqrt{5} — c)(\sqrt{5} + c)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух множителей, что облегчает операции умножения, деления или нахождения корней.

Такое разложение особенно удобно, если нужно упростить выражение, решить уравнение или интеграл, где встречается \(5 — c^2\). Оно показывает, как можно работать с выражениями, содержащими как радикалы, так и переменные.

в) Выражение \(4a^2 — 3\) также является разностью квадратов, так как \(4a^2 = (2a)^2\), а \(3 = (\sqrt{3})^2\). Подставляя \(a = 2a\), \(b = \sqrt{3}\), получаем разложение \(4a^2 — 3 = (2a — \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})\). Это упрощает работу с многочленом и позволяет легко находить его нули.

Данное разложение особенно полезно при решении уравнений, когда нужно избавиться от квадратных выражений и перейти к линейным множителям.

г) В выражении \(11 — 16b^2\) заметим, что \(11 = (\sqrt{11})^2\), а \(16b^2 = (4b)^2\). Это снова разность квадратов с \(a = \sqrt{11}\), \(b = 4b\). Следовательно, \(11 — 16b^2 = (\sqrt{11} — 4b)(\sqrt{11} + 4b)\). Такое разложение облегчает вычисления и решение уравнений, связанных с данным выражением.

Важно, что при работе с корнями и переменными нужно учитывать область определения, чтобы не получить недопустимых значений.

д) Выражение \(y — 3\) можно представить как разность квадратов, если записать \(y = (\sqrt{y})^2\) и \(3 = (\sqrt{3})^2\). При условии \(y \geq 0\) это возможно, тогда \(y — 3 = (\sqrt{y} — \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})\). Это разложение удобно для упрощения выражений, где переменная под корнем.

Условие \(y \geq 0\) обязательно, потому что корень из отрицательного числа в действительных числах не определён, и без этого условия разложение было бы некорректным.

е) Аналогично, \(x — y\) можно разложить как разность квадратов, если представить \(x = (\sqrt{x})^2\), \(y = (\sqrt{y})^2\) при условии \(x > 0, y > 0\). Тогда \(x — y = (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})\). Это разложение широко используется для упрощения выражений с корнями и переменными.

Условия \(x > 0\) и \(y > 0\) необходимы, чтобы корни были определены в множестве действительных чисел, что делает разложение корректным и применимым.