Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 421 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Разложите на множители выражение:
а) \(3 + \sqrt{3}\)
б) \(10 — 2\sqrt{10}\)
в) \(\sqrt{x} + x\)
г) \(a — 5\sqrt{a}\)
д) \(\sqrt{a} — \sqrt{2a}\)
е) \(\sqrt{3m} + \sqrt{5m}\)
ж) \(\sqrt{14} — \sqrt{7}\)
з) \(\sqrt{33} + \sqrt{22}\)
а) \(3 + \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)\)
б) \(10 — 2\sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot (\sqrt{10} — 2)\)
в) \(\sqrt{x} + x = \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})\)
г) \(a — 5\sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} — 5)\)
д) \(\sqrt{a} — \sqrt{2a} = \sqrt{a} \cdot (1 — \sqrt{2})\)
е) \(\sqrt{3m} + \sqrt{5m} = \sqrt{m} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{5})\)
ж) \(\sqrt{14} — \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot (\sqrt{2} — 1)\)
з) \(\sqrt{33} + \sqrt{22} = \sqrt{11} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})\)
а) В выражении \(3 + \sqrt{3}\) мы видим сумму целого числа и корня из трех. Чтобы представить это в виде произведения, нужно вынести общий множитель. Общим множителем здесь является \(\sqrt{3}\), так как \(3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\). Тогда можно переписать сумму как \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)\). Таким образом, мы фактически раскрываем скобки, но в обратном порядке, выделяя общий множитель.
Такое преобразование удобно для упрощения выражений и дальнейших вычислений, особенно если нужно упростить выражение под корнем или подготовить его к умножению с другими выражениями. В итоге исходное выражение \(3 + \sqrt{3}\) эквивалентно \(\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)\), что и требовалось показать.
б) Рассмотрим выражение \(10 — 2 \sqrt{10}\). Чтобы представить его в виде произведения, выделяем общий множитель, которым является \(\sqrt{10}\). Заметим, что \(10 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10}\), значит \(10 — 2 \sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} — 2 \sqrt{10}\).
Вынесем \(\sqrt{10}\) за скобки: \(\sqrt{10} (\sqrt{10} — 2)\). Это преобразование помогает упростить выражение и подготовить его к дальнейшим операциям, например, к умножению или делению.
в) В выражении \(\sqrt{x} + x\) заметим, что \(x = (\sqrt{x})^2\), то есть \(x\) можно представить как произведение \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\). Тогда \(\sqrt{x} + x = \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})\).
Такое представление удобно, так как позволяет выделить общий множитель \(\sqrt{x}\), что упрощает дальнейшую работу с выражением, например, при умножении или интегрировании.
г) Выражение \(a — 5 \sqrt{a}\) содержит два слагаемых, одно из которых — просто \(a\), а другое — произведение \(\sqrt{a}\) на число 5. Поскольку \(a = (\sqrt{a})^2\), перепишем \(a\) как \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}\), тогда выражение становится \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} — 5 \sqrt{a}\).
Вынесем \(\sqrt{a}\) за скобки: \(\sqrt{a} (\sqrt{a} — 5)\). Это упрощает выражение, выделяя общий множитель и облегчая дальнейшие вычисления.
д) Рассмотрим \(\sqrt{a} — \sqrt{2a}\). Заметим, что \(\sqrt{2a} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a}\), поэтому выражение можно переписать как \(\sqrt{a} — \sqrt{2} \cdot \sqrt{a}\).
Вынесем \(\sqrt{a}\) за скобки: \(\sqrt{a} (1 — \sqrt{2})\). Это позволяет представить разность корней в виде произведения, что удобно для упрощения и дальнейших операций.
е) В выражении \(\sqrt{3m} + \sqrt{5m}\) обе части содержат множитель \(\sqrt{m}\), так как \(\sqrt{3m} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{m}\) и \(\sqrt{5m} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{m}\).
Вынесем \(\sqrt{m}\) за скобки: \(\sqrt{m} (\sqrt{3} + \sqrt{5})\). Такое разложение выделяет общий множитель и упрощает выражение, делая его более удобным для последующих действий.
ж) Рассмотрим разность корней \(\sqrt{14} — \sqrt{7}\). Заметим, что \(\sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2}\), поэтому выражение перепишется как \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} — \sqrt{7}\).
Вынесем \(\sqrt{7}\) за скобки: \(\sqrt{7} (\sqrt{2} — 1)\). Это преобразование облегчает работу с выражением, позволяя использовать общий множитель.
з) В выражении \(\sqrt{33} + \sqrt{22}\) заметим, что \(33 = 11 \cdot 3\) и \(22 = 11 \cdot 2\), значит \(\sqrt{33} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{3}\) и \(\sqrt{22} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{2}\).
Вынесем \(\sqrt{11}\) за скобки: \(\sqrt{11} (\sqrt{3} + \sqrt{2})\). Это позволяет представить сумму корней в виде произведения, что упрощает дальнейшие вычисления и анализ выражения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!