Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 422 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а) \(\frac{b^2 — 5}{b — \sqrt{5}}\)
б) \(\frac{m + \sqrt{6}}{6 — m^2}\)
в) \(\frac{2 — \sqrt{x}}{x — 4}\)
г) \(\frac{b — 9}{\sqrt{b} + 3}\)
д) \(\frac{a — b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\)
е) \(\frac{2x — 3\sqrt{y}}{4x — 9y}\)
а) \(\frac{b^2 — 5}{b — \sqrt{5}} = \frac{(b — \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b — \sqrt{5}} = b + \sqrt{5}\)
б) \(\frac{m + \sqrt{6}}{6 — m^2} = \frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} — m)(\sqrt{6} + m)} = \frac{1}{\sqrt{6} — m}\)
в) \(\frac{2 — \sqrt{x}}{x — 4} = -\frac{2 — \sqrt{x}}{(2 — \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = -\frac{1}{2 + \sqrt{x}}\)
г) \(\frac{b — 9}{\sqrt{b} + 3} = \frac{(\sqrt{b} — 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3} = \sqrt{b} — 3\)
д) \(\frac{a — b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\)
е) \(\frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{4x — 9y} = \frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} — 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} = \frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}\)
а) В данном выражении \(\frac{b^2 — 5}{b — \sqrt{5}}\) мы видим числитель, который можно представить в виде разности квадратов, так как \(b^2 — 5 = b^2 — (\sqrt{5})^2\). По формуле разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\) раскладываем числитель на множители: \(b^2 — 5 = (b — \sqrt{5})(b + \sqrt{5})\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{(b — \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b — \sqrt{5}}\).
Далее сокращаем одинаковый множитель \(b — \sqrt{5}\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(b \neq \sqrt{5}\), чтобы избежать деления на ноль. В результате получаем упрощённое выражение \(b + \sqrt{5}\).
б) Рассмотрим выражение \(\frac{m + \sqrt{6}}{6 — m^2}\). Заметим, что знаменатель можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: \(6 — m^2 = (\sqrt{6})^2 — m^2 = (\sqrt{6} — m)(\sqrt{6} + m)\). Тогда дробь становится \(\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} — m)(\sqrt{6} + m)}\).
Обращаем внимание, что числитель совпадает с одним из множителей знаменателя — \(m + \sqrt{6} = \sqrt{6} + m\). Значит, можно сократить на этот множитель, получая \(\frac{1}{\sqrt{6} — m}\), при условии, что \(\sqrt{6} + m \neq 0\).
в) В выражении \(\frac{2 — \sqrt{x}}{x — 4}\) знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов: \(x — 4 = (\sqrt{x})^2 — 2^2 = (\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)\). Тогда дробь записывается как \(\frac{2 — \sqrt{x}}{(\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)}\).
Обратим внимание, что \(2 — \sqrt{x} = -(\sqrt{x} — 2)\). Подставляя это, получаем \(\frac{- (\sqrt{x} — 2)}{(\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)}\). Теперь можно сократить множитель \(\sqrt{x} — 2\) в числителе и знаменателе, учитывая, что \(\sqrt{x} \neq 2\), и остаётся \(-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}\).
г) Рассмотрим \(\frac{b — 9}{\sqrt{b} + 3}\). Заметим, что числитель \(b — 9\) можно представить как разность квадратов: \(b — 9 = (\sqrt{b})^2 — 3^2 = (\sqrt{b} — 3)(\sqrt{b} + 3)\). Тогда выражение становится \(\frac{(\sqrt{b} — 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3}\).
Теперь сокращаем множитель \(\sqrt{b} + 3\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(\sqrt{b} \neq -3\), и получаем упрощённое выражение \(\sqrt{b} — 3\).
д) В выражении \(\frac{a — b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\) числитель \(a — b\) можно представить как разность квадратов: \(a — b = (\sqrt{a})^2 — (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\).
Обратим внимание, что \(\sqrt{b} + \sqrt{a} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\), то есть знаменатель совпадает с одним из множителей числителя. Сокращаем этот множитель, учитывая, что \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq 0\), и получаем \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\).
е) Рассмотрим выражение \(\frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{4x — 9y}\). Знаменатель можно разложить как разность квадратов: \(4x — 9y = (2\sqrt{x})^2 — (3\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} — 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})\). Тогда дробь записывается как \(\frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} — 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})}\).
Теперь сокращаем множитель \(2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}\) в числителе и знаменателе, учитывая, что он не равен нулю, и остаётся \(\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!