ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 422 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{b^2 — 5}{b — \sqrt{5}}\)
б) \(\frac{m + \sqrt{6}}{6 — m^2}\)
в) \(\frac{2 — \sqrt{x}}{x — 4}\)
г) \(\frac{b — 9}{\sqrt{b} + 3}\)
д) \(\frac{a — b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\)
е) \(\frac{2x — 3\sqrt{y}}{4x — 9y}\)

а) \(\frac{b^2 — 5}{b — \sqrt{5}} = \frac{(b — \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b — \sqrt{5}} = b + \sqrt{5}\)

б) \(\frac{m + \sqrt{6}}{6 — m^2} = \frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} — m)(\sqrt{6} + m)} = \frac{1}{\sqrt{6} — m}\)

в) \(\frac{2 — \sqrt{x}}{x — 4} = -\frac{2 — \sqrt{x}}{(2 — \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = -\frac{1}{2 + \sqrt{x}}\)

г) \(\frac{b — 9}{\sqrt{b} + 3} = \frac{(\sqrt{b} — 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3} = \sqrt{b} — 3\)

д) \(\frac{a — b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\)

е) \(\frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{4x — 9y} = \frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} — 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})} = \frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}\)

а) В данном выражении \(\frac{b^2 — 5}{b — \sqrt{5}}\) мы видим числитель, который можно представить в виде разности квадратов, так как \(b^2 — 5 = b^2 — (\sqrt{5})^2\). По формуле разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\) раскладываем числитель на множители: \(b^2 — 5 = (b — \sqrt{5})(b + \sqrt{5})\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{(b — \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b — \sqrt{5}}\).

Далее сокращаем одинаковый множитель \(b — \sqrt{5}\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(b \neq \sqrt{5}\), чтобы избежать деления на ноль. В результате получаем упрощённое выражение \(b + \sqrt{5}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{m + \sqrt{6}}{6 — m^2}\). Заметим, что знаменатель можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: \(6 — m^2 = (\sqrt{6})^2 — m^2 = (\sqrt{6} — m)(\sqrt{6} + m)\). Тогда дробь становится \(\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} — m)(\sqrt{6} + m)}\).

Обращаем внимание, что числитель совпадает с одним из множителей знаменателя — \(m + \sqrt{6} = \sqrt{6} + m\). Значит, можно сократить на этот множитель, получая \(\frac{1}{\sqrt{6} — m}\), при условии, что \(\sqrt{6} + m \neq 0\).

в) В выражении \(\frac{2 — \sqrt{x}}{x — 4}\) знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов: \(x — 4 = (\sqrt{x})^2 — 2^2 = (\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)\). Тогда дробь записывается как \(\frac{2 — \sqrt{x}}{(\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)}\).

Обратим внимание, что \(2 — \sqrt{x} = -(\sqrt{x} — 2)\). Подставляя это, получаем \(\frac{- (\sqrt{x} — 2)}{(\sqrt{x} — 2)(\sqrt{x} + 2)}\). Теперь можно сократить множитель \(\sqrt{x} — 2\) в числителе и знаменателе, учитывая, что \(\sqrt{x} \neq 2\), и остаётся \(-\frac{1}{\sqrt{x} + 2}\).

г) Рассмотрим \(\frac{b — 9}{\sqrt{b} + 3}\). Заметим, что числитель \(b — 9\) можно представить как разность квадратов: \(b — 9 = (\sqrt{b})^2 — 3^2 = (\sqrt{b} — 3)(\sqrt{b} + 3)\). Тогда выражение становится \(\frac{(\sqrt{b} — 3)(\sqrt{b} + 3)}{\sqrt{b} + 3}\).

Теперь сокращаем множитель \(\sqrt{b} + 3\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(\sqrt{b} \neq -3\), и получаем упрощённое выражение \(\sqrt{b} — 3\).

д) В выражении \(\frac{a — b}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\) числитель \(a — b\) можно представить как разность квадратов: \(a — b = (\sqrt{a})^2 — (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\).

Обратим внимание, что \(\sqrt{b} + \sqrt{a} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\), то есть знаменатель совпадает с одним из множителей числителя. Сокращаем этот множитель, учитывая, что \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq 0\), и получаем \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\).

е) Рассмотрим выражение \(\frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{4x — 9y}\). Знаменатель можно разложить как разность квадратов: \(4x — 9y = (2\sqrt{x})^2 — (3\sqrt{y})^2 = (2\sqrt{x} — 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})\). Тогда дробь записывается как \(\frac{2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x} — 3\sqrt{y})(2\sqrt{x} + 3\sqrt{y})}\).

Теперь сокращаем множитель \(2\sqrt{x} — 3\sqrt{y}\) в числителе и знаменателе, учитывая, что он не равен нулю, и остаётся \(\frac{1}{2\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}\).