ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 423 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{x^2 — 2}{x + \sqrt{2}}\)
б) \(\frac{\sqrt{5} — a}{5 — a^2}\)
в) \(\frac{\sqrt{x} — 5}{25 — x}\)
г) \(\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}\)
д) \(\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
е) \(\frac{2\sqrt{3} — 3}{5\sqrt{3}}\)

а) \(\frac{x^2 — 2}{x + \sqrt{2}} = \frac{(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}} = x — \sqrt{2}\)

б) \(\frac{\sqrt{5} — a}{5 — a^2} = \frac{\sqrt{5} — a}{(\sqrt{5} — a)(\sqrt{5} + a)} = \frac{1}{\sqrt{5} + a}\)

в) \(\frac{\sqrt{x} — 5}{25 — x} = -\frac{\sqrt{x} — 5}{(\sqrt{x} — 5)(\sqrt{x} + 5)} = -\frac{1}{\sqrt{x} + 5}\)

г) \(\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}\)

д) \(\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

е) \(\frac{2\sqrt{3} — 3}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (2 — \sqrt{3})}{5\sqrt{3}} = \frac{2 — \sqrt{3}}{5}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{x^2 — 2}{x + \sqrt{2}}\). Заметим, что числитель можно представить в виде разности квадратов: \(x^2 — (\sqrt{2})^2\), что равно \((x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2})\). Это позволяет разложить числитель на множители. После этого дробь принимает вид \(\frac{(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x + \sqrt{2}}\).

Так как в числителе и знаменателе есть общий множитель \(x + \sqrt{2}\), их можно сократить, при условии, что \(x \neq -\sqrt{2}\), чтобы не делить на ноль. После сокращения остаётся выражение \(x — \sqrt{2}\), которое и является упрощённым результатом.

б) Рассмотрим дробь \(\frac{\sqrt{5} — a}{5 — a^2}\). В знаменателе заметим разность квадратов: \(5 — a^2 = (\sqrt{5})^2 — a^2 = (\sqrt{5} — a)(\sqrt{5} + a)\). Подставляем это в дробь: \(\frac{\sqrt{5} — a}{(\sqrt{5} — a)(\sqrt{5} + a)}\).

Теперь видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \(\sqrt{5} — a\), который можно сократить, если \(\sqrt{5} — a \neq 0\). После сокращения остаётся \(\frac{1}{\sqrt{5} + a}\) — окончательный ответ.

в) Начинаем с выражения \(\frac{\sqrt{x} — 5}{25 — x}\). В знаменателе заметим, что \(25 — x = 5^2 — (\sqrt{x})^2 = (5 — \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})\). Подставляем: \(\frac{\sqrt{x} — 5}{(5 — \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})}\).

Обратим внимание, что числитель \(\sqrt{x} — 5\) равен \(-(5 — \sqrt{x})\), так как меняется знак. Значит, выражение можно переписать как \(\frac{-(5 — \sqrt{x})}{(5 — \sqrt{x})(5 + \sqrt{x})}\).

Теперь сокращаем общий множитель \(5 — \sqrt{x}\), при условии, что он не равен нулю. После сокращения остаётся \(-\frac{1}{5 + \sqrt{x}}\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}\). Можно представить числитель как \(\sqrt{2} \cdot 1 + 2\), но удобнее вынести \(\sqrt{2}\) за скобки: \( \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})\).

Подставляем в дробь: \(\frac{\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}}\). Теперь \(\sqrt{2}\) в числителе и знаменателе сокращается, и остаётся \(1 + \sqrt{2}\).

д) Рассмотрим дробь \(\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\). Заметим, что \(5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\), а \(\sqrt{10} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}\). Тогда числитель можно переписать как \(\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})\).

Подставим это в дробь: \(\frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}\).

Теперь можно сократить \(\sqrt{5}\) в числителе и знаменателе, и остаётся \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\).

е) Рассмотрим выражение \(\frac{2\sqrt{3} — 3}{5\sqrt{3}}\). В числителе вынесем \(\sqrt{3}\) за скобки: \(2\sqrt{3} — 3 = \sqrt{3} \cdot 2 — \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (2 — \sqrt{3})\).

Подставим в дробь: \(\frac{\sqrt{3} \cdot (2 — \sqrt{3})}{5 \sqrt{3}}\). Теперь \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе можно сократить, при условии, что \(\sqrt{3} \neq 0\).

После сокращения остаётся \(\frac{2 — \sqrt{3}}{5}\).