ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 424 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{x}{\sqrt{5}}\)
б) \(\frac{3}{\sqrt{6}}\)
в) \(\frac{2}{7\sqrt{y}}\)
г) \(\frac{a}{b\sqrt{b}}\)
д) \(\frac{4}{\sqrt{a} + b}\)
е) \(\frac{1}{\sqrt{a} — b}\)
ж) \(\frac{5}{2\sqrt{3}}\)
з) \(\frac{8}{3\sqrt{2}}\)
и) \(\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}\)

а) \( \frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{x \sqrt{5}}{5} \)

б) \( \frac{3}{\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3 \sqrt{b}}{b} \)

в) \( \frac{2}{7 \sqrt{y}} = \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7 \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2 \sqrt{y}}{7 y} \)

г) \( \frac{a}{b \sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a \sqrt{b}}{b^{2}} \)

д) \( \frac{4}{\sqrt{a+b}} = \frac{4 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}} = \frac{4 \sqrt{a+b}}{a+b} \)

е) \( \frac{1}{\sqrt{a-b}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a-b}}{a-b} \)

ж) \( \frac{5}{2 \sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \sqrt{3}}{6} \)

з) \( \frac{8}{3 \sqrt{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \)

и) \( \frac{3 \sqrt{5}}{5 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{10}}{5 \cdot 2} = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \)

а) Чтобы избавиться от иррационального знаменателя в дроби \(\frac{x}{\sqrt{5}}\), умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\). Это позволяет использовать свойство, что произведение \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\). Таким образом, выражение преобразуется в \(\frac{x \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}\).

Поскольку \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\), знаменатель становится рациональным числом 5. Итоговый вид дроби — \(\frac{x \sqrt{5}}{5}\), что является более удобной формой для дальнейших вычислений.

б) В выражении \(\frac{3}{\sqrt{b}}\) применяем тот же метод рационализации знаменателя. Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{b}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе. Получаем \(\frac{3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}\).

Поскольку \(\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b\), знаменатель становится просто \(b\). В результате выражение принимает вид \(\frac{3 \sqrt{b}}{b}\), что упрощает работу с дробью.

в) Для дроби \(\frac{2}{7 \sqrt{y}}\) рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{y}\). Это приводит к выражению \(\frac{2 \cdot \sqrt{y}}{7 \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}\).

Так как \(\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y\), знаменатель становится \(7y\). Итоговая форма дроби — \(\frac{2 \sqrt{y}}{7 y}\), что избавляет от иррациональности в знаменателе.

г) Для выражения \(\frac{a}{b \sqrt{b}}\) рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{b}\). Получаем \(\frac{a \cdot \sqrt{b}}{b \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}\).

Поскольку \(\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b\), знаменатель превращается в \(b^2\). В итоге имеем \(\frac{a \sqrt{b}}{b^2}\), что является рационализированной формой.

д) В дроби \(\frac{4}{\sqrt{a+b}}\) рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{a+b}\). Получается \(\frac{4 \cdot \sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a+b}}\).

Поскольку произведение корней даёт подкоренное выражение, знаменатель становится \(a+b\). Итоговое выражение — \(\frac{4 \sqrt{a+b}}{a+b}\).

е) Для дроби \(\frac{1}{\sqrt{a-b}}\) рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{a-b}\). Получаем \(\frac{1 \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b}}\).

Так как \(\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{a-b} = a-b\), знаменатель становится \(a-b\). Выражение принимает вид \(\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}\).

ж) В дроби \(\frac{5}{2 \sqrt{3}}\) рационализация проводится умножением числителя и знаменателя на \(\sqrt{3}\). Это даёт \(\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\).

Поскольку \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\), знаменатель становится \(2 \cdot 3 = 6\). Итоговая форма — \(\frac{5 \sqrt{3}}{6}\).

з) Для дроби \(\frac{8}{3 \sqrt{2}}\) умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\). Получаем \(\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\).

Так как \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\), знаменатель равен \(3 \cdot 2 = 6\). После сокращения получаем \(\frac{4 \sqrt{2}}{3}\).

и) В выражении \(\frac{3 \sqrt{5}}{5 \sqrt{2}}\) рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\). Получаем \(\frac{3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\).

Поскольку \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\), знаменатель становится \(5 \cdot 2 = 10\). В числителе произведение корней равно \(\sqrt{10}\), итоговое выражение — \(\frac{3 \sqrt{10}}{10}\).