Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 425 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{m}{\sqrt{x}}\)
б) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
в) \(\frac{3}{5\sqrt{c}}\)
г) \(\frac{a}{2\sqrt{3}}\)
д) \(\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
е) \(\frac{5}{4\sqrt{15}}\)
а) \( \frac{m}{\sqrt{x}} = \frac{m \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m \sqrt{x}}{x} \)
б) \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
в) \( \frac{3}{5 \sqrt{c}} = \frac{3 \sqrt{c}}{5 \sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{3 \sqrt{c}}{5 c} \)
г) \( \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \)
д) \( \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
е) \( \frac{5}{4 \sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{4 \cdot 15} = \frac{\sqrt{15}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{15}}{12} \)
а) В этом примере необходимо упростить дробь с корнем в знаменателе. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}\), так как \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\). Таким образом, выражение \(\frac{m}{\sqrt{x}}\) преобразуется в \(\frac{m \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m \sqrt{x}}{x}\). Это действие называется рационализацией знаменателя — мы избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножая на подходящий корень.
Далее, в результате получаем дробь с числителем \(m \sqrt{x}\) и знаменателем \(x\), что является более удобным для дальнейших вычислений или анализа. Такое преобразование часто используется для упрощения выражений и приведения их к стандартному виду.
б) Здесь нужно упростить дробь, в которой в знаменателе стоит корень из 2. Аналогично первому примеру, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе. Исходное выражение \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) преобразуем в \(\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Появляется число 2 в знаменателе, так как \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\).
Такое действие рационализирует знаменатель, делая выражение более удобным для использования. В итоге мы получили дробь с рациональным знаменателем, что облегчает последующие операции с этим выражением.
в) В этом пункте упростим выражение, где корень стоит в знаменателе под множителем. Начинаем с дроби \(\frac{3}{5 \sqrt{c}}\). Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{c}\), получая \(\frac{3 \cdot \sqrt{c}}{5 \sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{3 \sqrt{c}}{5 c}\). Здесь использована формула \(\sqrt{c} \cdot \sqrt{c} = c\).
Такое умножение позволяет избавиться от корня в знаменателе, что упрощает работу с выражением. Теперь дробь представлена с рациональным знаменателем, что удобно для дальнейших вычислений.
г) В этом примере необходимо упростить дробь с корнем в знаменателе: \(\frac{a}{2 \sqrt{3}}\). Чтобы избавиться от корня, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), так как \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\). Получаем \(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a \sqrt{3}}{6}\).
Это классический прием рационализации знаменателя, который упрощает выражение и делает его более удобным для работы. В итоге знаменатель становится рациональным числом, а числитель содержит корень.
д) Аналогично предыдущему пункту, упрощаем выражение \(\frac{3}{2 \sqrt{3}}\). Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получая \(\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Здесь мы использовали свойство корней и сократили число 3 в числителе и знаменателе.
Это рационализация знаменателя и сокращение дроби. В результате знаменатель становится рациональным, а числитель — выражением с корнем, что облегчает использование данного выражения.
е) В последнем примере дробь \(\frac{5}{4 \sqrt{15}}\) нужно упростить. Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{15}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе: \(\frac{5 \cdot \sqrt{15}}{4 \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5 \sqrt{15}}{4 \cdot 15}\). Поскольку \(\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 15\), знаменатель становится \(4 \cdot 15 = 60\).
Далее сокращаем дробь, делая знаменатель произведением 4 и 15, что равно 60. Для удобства можно переписать как \(\frac{\sqrt{15}}{12}\), так как \( \frac{5 \sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{12}\). Таким образом, рационализировали знаменатель и упростили дробь для удобства дальнейших вычислений.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!