Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 426 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{4}{\sqrt{3} + 1}\)
б) \(\frac{1}{1 — \sqrt{2}}\)
в) \(\frac{1}{\sqrt{x} — \sqrt{y}}\)
г) \(\frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\)
д) \(\frac{33}{7 — 3\sqrt{3}}\)
е) \(\frac{15}{2\sqrt{5} + 5}\)
а) \(\frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1)\)
б) \(\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = — (1+\sqrt{2}) = -1 — \sqrt{2}\)
в) \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\)
г) \(\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}\)
д) \(\frac{33}{7-3\sqrt{3}} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{(7+3\sqrt{3})(7-3\sqrt{3})} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{49 — 9 \cdot 3} = \frac{33(7+3\sqrt{3})}{22} = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2} = \frac{21 + 9\sqrt{3}}{2}\)
е) \(\frac{15}{2\sqrt{5}+5} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5)(2\sqrt{5}-5)} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4 \cdot 5 — 25} = \frac{15(2\sqrt{5}-5)}{-5} = -3(2\sqrt{5}-5) =\) \(= 15 — 6\sqrt{5}\)
а) Начинаем с выражения \(\frac{4}{\sqrt{3}+1}\). Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю — \(\sqrt{3}-1\). Это стандартный приём рационализации, который позволяет убрать корень из знаменателя. Получаем: \(\frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\). В знаменателе произведение двух сопряжённых выражений равно разности квадратов: \((\sqrt{3})^2 — 1^2 = 3 — 1 = 2\).
Далее упрощаем дробь: \(\frac{4(\sqrt{3}-1)}{2}\). Числитель можно разделить на 2, получая \(2(\sqrt{3}-1)\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(2(\sqrt{3}-1)\), где знаменатель теперь рационален, а выражение записано в более удобной форме.
б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\). Аналогично предыдущему пункту, рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(1+\sqrt{2}\). Получаем: \(\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}\). В знаменателе произведение сопряжённых выражений равно \(1^2 — (\sqrt{2})^2 = 1 — 2 = -1\).
Теперь дробь примет вид \(\frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -(1+\sqrt{2})\). Раскрывая скобки, получаем \(-1 — \sqrt{2}\). Таким образом, рационализация знаменателя позволила упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе.
в) В выражении \(\frac{1}{\sqrt{x} — \sqrt{y}}\) для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\). Это даёт: \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}\). В знаменателе произведение сопряжённых выражений равно разности квадратов: \(x — y\).
Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x — y}\). Такой приём позволяет избавиться от иррационального выражения в знаменателе, делая дробь более удобной для дальнейших вычислений.
г) Рассмотрим дробь \(\frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\). Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\). Получаем: \(\frac{a(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} — \sqrt{b})}\). В знаменателе произведение сопряжённых выражений равно \(a — b\).
После упрощения дробь принимает вид \(\frac{a(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{a — b}\). Такой приём рационализации позволяет избавиться от корней в знаменателе, что упрощает работу с выражением.
д) Для выражения \(\frac{33}{7 — 3\sqrt{3}}\) рационализируем знаменатель, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(7 + 3\sqrt{3}\). Получаем: \(\frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{(7 — 3\sqrt{3})(7 + 3\sqrt{3})}\). В знаменателе произведение сопряжённых выражений равно разности квадратов: \(7^2 — (3\sqrt{3})^2 = 49 — 9 \cdot 3 = 49 — 27 = 22\).
Дробь упрощается до \(\frac{33(7 + 3\sqrt{3})}{22}\). Делим числитель и знаменатель на 11, получая \(\frac{3(7 + 3\sqrt{3})}{2}\). Раскрываем скобки: \(\frac{21 + 9\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, рационализация знаменателя привела к более простой форме выражения.
е) В выражении \(\frac{15}{2\sqrt{5} + 5}\) для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(2\sqrt{5} — 5\). Получаем: \(\frac{15(2\sqrt{5} — 5)}{(2\sqrt{5} + 5)(2\sqrt{5} — 5)}\). В знаменателе произведение сопряжённых выражений равно разности квадратов: \((2\sqrt{5})^2 — 5^2 = 4 \cdot 5 — 25 = 20 — 25 = -5\).
Дробь упрощается до \(\frac{15(2\sqrt{5} — 5)}{-5}\). Делим числитель и знаменатель на 5, получая \(-3(2\sqrt{5} — 5)\). Раскрываем скобки: \(-6\sqrt{5} + 15\), что записываем как \(15 — 6\sqrt{5}\). Рационализация знаменателя позволила избавиться от корня в знаменателе и привести выражение к удобной форме.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!