Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 427 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения:
а) \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4}\) есть число рациональное;
б) \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}}\) есть число иррациональное.
а) \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4} = \frac{3\sqrt{3} + 4 — 3\sqrt{3} + 4}{(3\sqrt{3} — 4)(3\sqrt{3} + 4)} = \frac{8}{9 \cdot 3 — 16} = \frac{8}{11}\)
\(\frac{8}{11}\) — рациональное число, верно.
б) \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{5 + 2\sqrt{6} — 5 + 2\sqrt{6}}{(5 — 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{4\sqrt{6}}{25 — 4 \cdot 6} = \frac{4\sqrt{6}}{1} = 4\sqrt{6}\)
\(4\sqrt{6}\) — иррациональное число, верно.
а) Для начала рассмотрим выражение \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4}\). Чтобы упростить разность дробей с разными знаменателями, приведём их к общему знаменателю, перемножив знаменатели: \((3\sqrt{3} — 4)(3\sqrt{3} + 4)\). Это выражение является разностью квадратов и равно \( (3\sqrt{3})^2 — 4^2 = 9 \cdot 3 — 16 = 27 — 16 = 11\).
Далее, числитель получается путём умножения каждого числителя на знаменатель другой дроби и вычитания: \(1 \cdot (3\sqrt{3} + 4) — 1 \cdot (3\sqrt{3} — 4) = 3\sqrt{3} + 4 — 3\sqrt{3} + 4 = 8\). Таким образом, выражение принимает вид \(\frac{8}{11}\). Так как числитель и знаменатель — рациональные числа, сама дробь является рациональным числом.
Итог: \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4} = \frac{8}{11}\), что подтверждает рациональность результата.
б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}}\). Аналогично первому пункту, приведём дроби к общему знаменателю, перемножив знаменатели: \((5 — 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})\). По формуле разности квадратов получаем \(5^2 — (2\sqrt{6})^2 = 25 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).
Числитель находится как разность произведений: \(1 \cdot (5 + 2\sqrt{6}) — 1 \cdot (5 — 2\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6} — 5 + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\). Следовательно, выражение равно \(\frac{4\sqrt{6}}{1} = 4\sqrt{6}\). Корень из 6 — иррациональное число, поэтому произведение с 4 также иррационально.
Итог: \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}\), что доказывает иррациональность результата.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!