ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 427 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:
а) \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4}\) есть число рациональное;
б) \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}}\) есть число иррациональное.

а) \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4} = \frac{3\sqrt{3} + 4 — 3\sqrt{3} + 4}{(3\sqrt{3} — 4)(3\sqrt{3} + 4)} = \frac{8}{9 \cdot 3 — 16} = \frac{8}{11}\)
\(\frac{8}{11}\) — рациональное число, верно.

б) \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{5 + 2\sqrt{6} — 5 + 2\sqrt{6}}{(5 — 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{4\sqrt{6}}{25 — 4 \cdot 6} = \frac{4\sqrt{6}}{1} = 4\sqrt{6}\)
\(4\sqrt{6}\) — иррациональное число, верно.

а) Для начала рассмотрим выражение \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4}\). Чтобы упростить разность дробей с разными знаменателями, приведём их к общему знаменателю, перемножив знаменатели: \((3\sqrt{3} — 4)(3\sqrt{3} + 4)\). Это выражение является разностью квадратов и равно \( (3\sqrt{3})^2 — 4^2 = 9 \cdot 3 — 16 = 27 — 16 = 11\).

Далее, числитель получается путём умножения каждого числителя на знаменатель другой дроби и вычитания: \(1 \cdot (3\sqrt{3} + 4) — 1 \cdot (3\sqrt{3} — 4) = 3\sqrt{3} + 4 — 3\sqrt{3} + 4 = 8\). Таким образом, выражение принимает вид \(\frac{8}{11}\). Так как числитель и знаменатель — рациональные числа, сама дробь является рациональным числом.

Итог: \(\frac{1}{3\sqrt{3} — 4} — \frac{1}{3\sqrt{3} + 4} = \frac{8}{11}\), что подтверждает рациональность результата.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}}\). Аналогично первому пункту, приведём дроби к общему знаменателю, перемножив знаменатели: \((5 — 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})\). По формуле разности квадратов получаем \(5^2 — (2\sqrt{6})^2 = 25 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).

Числитель находится как разность произведений: \(1 \cdot (5 + 2\sqrt{6}) — 1 \cdot (5 — 2\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6} — 5 + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}\). Следовательно, выражение равно \(\frac{4\sqrt{6}}{1} = 4\sqrt{6}\). Корень из 6 — иррациональное число, поэтому произведение с 4 также иррационально.

Итог: \(\frac{1}{5 — 2\sqrt{6}} — \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}\), что доказывает иррациональность результата.