ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 428 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:
а) \(\frac{1}{\sqrt{5} — 2}\);
б) \(\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\);
в) \(\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}\);
г) \(\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\)?

а) \( \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2 \approx \)
\( \approx 2,24 + 2 \approx 4,24 \)

б) \( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \)
\( = \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3} \approx 2,24 + 1,73 \approx 3,97 \)

в) \( \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} = \)
\( = \sqrt{10}-\sqrt{7} \approx 3,16 — 2,65 \approx 0,51 \)

г) \( \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2} = \frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{5\sqrt{3} — 10 + 3 \cdot 3 — 6\sqrt{3}}{3-4} = \)
\( = \frac{5\sqrt{3} — 10 + 9 — 6\sqrt{3}}{-1} = \frac{-\sqrt{3} — 1}{-1} = \sqrt{3} + 1 \approx 1,73 + 1 \approx 2,73 \)

а) В этом примере мы начинаем с выражения \( \frac{1}{\sqrt{5}-2} \). Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5}+2 \), так как произведение сопряжённых выражений равно разности квадратов. Получаем:
\( \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} \). В знаменателе раскрываем скобки по формуле разности квадратов: \( (\sqrt{5})^2 — 2^2 = 5 — 4 = 1 \). Таким образом, знаменатель упрощается до 1, а числитель остаётся \( \sqrt{5} + 2 \).

Далее подставляем приближённые значения корней: \( \sqrt{5} \approx 2,24 \), следовательно, \( \sqrt{5} + 2 \approx 2,24 + 2 = 4,24 \). Это и есть окончательный ответ, который показывает, что исходное выражение рационализируется и вычисляется с помощью простых арифметических операций.

б) В данном случае рационализируем знаменатель выражения \( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \). Для этого умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \). В знаменателе раскрываем скобки по формуле разности квадратов: \( (\sqrt{5})^2 — (\sqrt{3})^2 = 5 — 3 = 2 \).

Теперь числитель равен \( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} \), а знаменатель — 2. Делим числитель на знаменатель:
\( \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \). Подставляем приближённые значения корней: \( \sqrt{5} \approx 2,24 \), \( \sqrt{3} \approx 1,73 \), сумма которых равна примерно \( 3,97 \). Это и есть окончательный результат.

в) Для выражения \( \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} \) также применяем рационализацию знаменателя. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{10} — \sqrt{7} \):
\( \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10} — \sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10} — \sqrt{7})} \). В знаменателе раскрываем скобки по формуле разности квадратов: \( 10 — 7 = 3 \).

Получаем \( \frac{3(\sqrt{10} — \sqrt{7})}{3} \), сокращая 3 в числителе и знаменателе, остаётся \( \sqrt{10} — \sqrt{7} \). Приблизительно \( \sqrt{10} \approx 3,16 \), \( \sqrt{7} \approx 2,65 \), разность которых равна \( 0,51 \). Это и есть ответ.

г) Рассмотрим выражение \( \frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \). Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{3} — 2 \):
\( \frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{(5 + 3\sqrt{3})(\sqrt{3} — 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} — 2)} \). В знаменателе по формуле разности квадратов получаем: \( (\sqrt{3})^2 — 2^2 = 3 — 4 = -1 \).

Раскрываем числитель: \( 5 \cdot \sqrt{3} — 5 \cdot 2 + 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — 3\sqrt{3} \cdot 2 = 5\sqrt{3} — 10 + 3 \cdot 3 — 6\sqrt{3} =\) \(= 5\sqrt{3} — 10 + 9 — 6\sqrt{3} \). Собираем подобные члены: \( (5\sqrt{3} — 6\sqrt{3}) + (-10 + 9) = -\sqrt{3} — 1 \).

Делим числитель на знаменатель: \( \frac{-\sqrt{3} — 1}{-1} = \sqrt{3} + 1 \). Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1,73 \), значит сумма равна \( 2,73 \). Это и есть окончательный ответ.