ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 429 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{x}{x + \sqrt{y}}\);
б) \(\frac{b}{a — \sqrt{b}}\);
в) \(\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}}\);
г) \(\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}\);
д) \(\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}}\);
е) \(\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}}\).

а) \(\frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x — \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x — \sqrt{y})} = \frac{x(x — \sqrt{y})}{x^2 — y}\);

б) \(\frac{b}{a — \sqrt{b}} = \frac{b(a + \sqrt{b})}{(a — \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{b(a + \sqrt{b})}{a^2 — b}\);

в) \(\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} — \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 — 2} =\)
\(= \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\);

г) \(\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} — \sqrt{6})} = \frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{3 — 6} =\)
\(= \frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{-3} = -4(\sqrt{3} — \sqrt{6}) = 4(\sqrt{6} — \sqrt{3})\);

д) \(\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{(3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 — 4 \cdot 2} = 9(3 + 2\sqrt{2})\);

е) \(\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{(1 + 5\sqrt{2})(1 — 5\sqrt{2})} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{1 — 25 \cdot 2} =\)
\(= \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{1 — 50} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{-49} = -\frac{2}{7}(1 — 5\sqrt{2}) = \frac{2(5\sqrt{2} — 1)}{7}\).

а) В этом выражении мы имеем дробь с иррациональным выражением в знаменателе: \(\frac{x}{x + \sqrt{y}}\). Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(x — \sqrt{y}\). Это стандартный приём рационализации знаменателя, позволяющий упростить дробь. После умножения числителя получаем \(x(x — \sqrt{y})\), а знаменатель превращается в разность квадратов: \((x + \sqrt{y})(x — \sqrt{y}) = x^2 — y\). Таким образом, дробь становится \(\frac{x(x — \sqrt{y})}{x^2 — y}\).

Далее можно записать результат как произведение в числителе и упрощённый знаменатель, что завершает процесс рационализации. Формально это даёт нам более удобное выражение без корня в знаменателе, что часто упрощает дальнейшие вычисления или анализ.

б) Здесь аналогично предыдущему случаю в знаменателе стоит выражение с корнем: \(a — \sqrt{b}\). Для рационализации умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(a + \sqrt{b}\). Это позволяет превратить знаменатель в разность квадратов: \((a — \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 — b\). В числителе при этом умножаем \(b\) на \(a + \sqrt{b}\), получая \(b(a + \sqrt{b})\). Итоговое выражение будет \(\frac{b(a + \sqrt{b})}{a^2 — b}\), где корень больше не присутствует в знаменателе.

Такое преобразование облегчает работу с выражением, так как теперь оно содержит только целые степени и рациональные числа в знаменателе, что часто требуется для упрощения или интегрирования.

в) В этом пункте нам нужно упростить выражение \(\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}}\). Для удаления корня из знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{10} + \sqrt{2}\). В результате числитель становится \(4(\sqrt{10} + \sqrt{2})\), а знаменатель — разностью квадратов: \((\sqrt{10} — \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = 10 — 2 = 8\). Дробь принимает вид \(\frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8}\), что можно сократить до \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\).

Такое упрощение делает выражение более компактным и удобным для последующих вычислений, убирая иррациональность из знаменателя.

г) В данном случае дробь \(\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}\) также требует рационализации. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{3} — \sqrt{6}\). В числителе получаем \(12(\sqrt{3} — \sqrt{6})\), а знаменатель преобразуется в разность квадратов: \((\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} — \sqrt{6}) = 3 — 6 = -3\). Таким образом, выражение становится \(\frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{-3}\).

Деление на \(-3\) даёт \(-4(\sqrt{3} — \sqrt{6})\), что можно переписать как \(4(\sqrt{6} — \sqrt{3})\), поменяв знаки внутри скобок. Это более удобная форма, так как знаменатель теперь рационален и выражение упрощено.

д) Для дроби \(\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}}\) применяем ту же технику: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(3 + 2\sqrt{2}\). В числителе получаем \(9(3 + 2\sqrt{2})\), а знаменатель становится разностью квадратов: \((3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 9 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).

В итоге получаем выражение \(9(3 + 2\sqrt{2})\), где знаменатель равен 1, то есть он исчез. Это максимально упрощённая форма исходной дроби.

е) В этом случае у нас дробь \(\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}}\). Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(1 — 5\sqrt{2}\). Числитель становится \(14(1 — 5\sqrt{2})\), а знаменатель — разностью квадратов: \((1 + 5\sqrt{2})(1 — 5\sqrt{2}) = 1 — 25 \cdot 2 = 1 — 50 = -49\).

Делим числитель на \(-49\), получая \(\frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{-49} = -\frac{2}{7}(1 — 5\sqrt{2})\). Переписывая с изменением знаков внутри скобок, получаем \(\frac{2(5\sqrt{2} — 1)}{7}\). Такой вид более удобен и избавлен от иррациональности в знаменателе, что облегчает дальнейшие операции с выражением.