ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 43 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{ax + bx — ay — by}{bx — by}\)
б) \(\frac{ab — 3b — 2a + 6}{15 — 5a}\)

(а) \(\frac{ax + bx — ay — by}{bx — by} = \frac{x(a + b) — y(a + b)}{b(x — y)} = \frac{(a + b)(x — y)}{b(x — y)} = \frac{a + b}{b}\)

(б) \(\frac{ab — 3b — 2a + 6}{15 — 5a} = \frac{b(a — 3) — 2(a — 3)}{5(3 — a)} = \frac{(a — 3)(b — 2)}{5(3 — a)} = — \frac{b — 2}{5}\)

а) Рассмотрим выражение \(\frac{ax + bx — ay — by}{bx — by}\). В числителе можно сгруппировать слагаемые по переменным \(x\) и \(y\): \(ax + bx = x(a + b)\) и \(ay + by = y(a + b)\). Тогда числитель перепишется как \(x(a + b) — y(a + b)\). В знаменателе выделим общий множитель \(b\), получаем \(b(x — y)\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{x(a + b) — y(a + b)}{b(x — y)}\).

Далее заметим, что в числителе общий множитель \((a + b)\) можно вынести за скобки: \((a + b)(x — y)\). Тогда выражение становится \(\frac{(a + b)(x — y)}{b(x — y)}\). Поскольку множитель \((x — y)\) одинаковый в числителе и знаменателе, и при условии, что \(x \neq y\), его можно сократить. После сокращения остается \(\frac{a + b}{b}\), что и является окончательным упрощением исходного выражения.

б) Исходное выражение \(\frac{ab — 3b — 2a + 6}{15 — 5a}\) можно упростить, сгруппировав числитель по общим множителям. В числителе выделим \(b\) из первых двух слагаемых: \(b(a — 3)\), а также вынесем \(-2\) из оставшихся: \(-2(a — 3)\). Получается \(b(a — 3) — 2(a — 3)\). В знаменателе вынесем общий множитель 5: \(5(3 — a)\).

Теперь числитель можно представить как произведение \((a — 3)(b — 2)\), так как \(b(a — 3) — 2(a — 3) = (a — 3)(b — 2)\). Знаменатель, записанный как \(5(3 — a)\), можно переписать, поменяв порядок вычитания в скобках с учётом знака: \(3 — a = -(a — 3)\). Значит, знаменатель равен \(-5(a — 3)\).

Подставив это в дробь, получаем \(\frac{(a — 3)(b — 2)}{-5(a — 3)}\). При условии, что \(a \neq 3\), сокращаем множитель \((a — 3)\) в числителе и знаменателе. В итоге остаётся \(-\frac{b — 2}{5}\), что и является окончательным ответом.