ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 430 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) \(\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15}\);
б) \(\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}\).

а) \( \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{15} \)
\( \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 15} \)
\( \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot \sqrt{15} = \frac{1}{5} \sqrt{15} \) — верно.

б) \( \sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a} \sqrt{2a} \)
\( \sqrt{\frac{2}{a}} = \sqrt{\frac{2a}{a^2}} \)
\( \sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a} \sqrt{2a} \) — верно.

а) Сначала рассмотрим выражение под корнем: \(\sqrt{\frac{3}{5}}\). Чтобы упростить этот корень, можно представить дробь под корнем в виде произведения двух корней: \(\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\). Однако для дальнейшего упрощения удобнее избавиться от корня в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель под корнем на \(\sqrt{5}\), получая \(\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{15}{25}}\). Теперь можно разложить корень из дроби на произведение корней: \(\sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{25}}\).

Поскольку \(\sqrt{25} = 5\), то выражение упрощается до \(\frac{\sqrt{15}}{5}\). Это и есть то же самое, что \(\frac{1}{5} \sqrt{15}\). Таким образом, исходное выражение \(\sqrt{\frac{3}{5}}\) равно \(\frac{1}{5} \sqrt{15}\). Это подтверждает, что равенство \(\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{15}\) верно и соответствует правильному преобразованию корней и дробей.

б) Рассмотрим выражение \(\sqrt{\frac{2}{a}}\). Чтобы упростить корень из дроби, можно представить его как \(\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}\). Для дальнейшего упрощения можно умножить числитель и знаменатель под корнем на \(\sqrt{a}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе, но здесь удобнее сделать иначе. Запишем \(\sqrt{\frac{2}{a}} = \sqrt{\frac{2a}{a^2}}\), поскольку \(a^2\) в знаменателе — это просто \(a\), умноженное на \(a\).

Теперь корень из дроби можно разложить на произведение корней: \(\sqrt{\frac{2a}{a^2}} = \frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{a^2}}\). Поскольку \(\sqrt{a^2} = a\), выражение упрощается до \(\frac{\sqrt{2a}}{a}\). Это и есть та же форма, что и \(\frac{1}{a} \sqrt{2a}\). Следовательно, равенство \(\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a} \sqrt{2a}\) является правильным и соответствует законам работы с корнями и степенями.