ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 431 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что числа \(2 — \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\) являются взаимно обратными, а числа \(2\sqrt{6} — 5\) и \(-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5}\) — противоположными.

Взаимно обратные числа при умножении дают единицу:
\(\left(2 — \sqrt{3}\right)\left(2 + \sqrt{3}\right) = 4 — 3 = 1 — \text{верно}.\)

Противоположные числа в сумме дадут нуль:
\(\left(2\sqrt{6} — 5\right) + \left(\frac{1}{2\sqrt{6} + 5}\right) = \frac{\left(2\sqrt{6} — 5\right)\left(2\sqrt{6} + 5\right) + 1}{2\sqrt{6} + 5} =\)
\(= \frac{4 \cdot 6 — 25 + 1}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{24 — 24}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{0}{2\sqrt{6} + 5} = 0 — \text{верно}.\)

Взаимно обратные числа при умножении дают единицу, так как произведение двух чисел равно 1 тогда и только тогда, когда одно число является обратным другому. В данном случае рассмотрим числа \(2 — \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\). При умножении их используем формулу разности квадратов: \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\). Подставляя \(a = 2\), \(b = \sqrt{3}\), получаем \(4 — 3 = 1\). Это показывает, что числа действительно взаимно обратны, так как произведение равно единице, что и требовалось доказать.

Противоположные числа в сумме всегда дают нуль, потому что они равны по модулю, но имеют разные знаки. Рассмотрим выражение \(\left(2\sqrt{6} — 5\right) + \frac{1}{2\sqrt{6} + 5}\). Чтобы сложить эти выражения, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого умножим первое слагаемое на \(\frac{2\sqrt{6} + 5}{2\sqrt{6} + 5}\), тогда сумма примет вид дроби:
\(\frac{\left(2\sqrt{6} — 5\right)\left(2\sqrt{6} + 5\right)}{2\sqrt{6} + 5} + \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{\left(2\sqrt{6} — 5\right)\left(2\sqrt{6} + 5\right) + 1}{2\sqrt{6} + 5}\).

Для числителя раскрываем скобки по формуле разности квадратов:
\(\left(2\sqrt{6}\right)^2 — 5^2 + 1 = 4 \cdot 6 — 25 + 1 = 24 — 25 + 1 = 0\).
Таким образом, числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, значит вся дробь равна нулю. Это доказывает, что сумма данных выражений равна нулю, то есть они являются противоположными числами.

Детальное разложение позволяет понять, что взаимно обратные числа при умножении дают единицу, а противоположные числа при сложении — ноль. Важно отметить, что для обратных чисел произведение выражается через разность квадратов, а для противоположных — сумма равна нулю благодаря взаимному сокращению числителя после приведения к общему знаменателю. Таким образом, оба свойства подтверждены с помощью элементарных алгебраических преобразований и правил работы с корнями и степенями.