ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 432 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Среди чисел \(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}\), \(6 — \sqrt{12}\), \(\sqrt{80} — 5\sqrt{3}\), \(\sqrt{75} — 4\sqrt{5}\), \(\frac{1}{2\sqrt{3} — 6}\), \(\frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}}\) есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

\(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{80} — 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} — 5\sqrt{3}, \quad \frac{1}{2\sqrt{3} — 6},\)

\(6 — \sqrt{12} = 6 — 2\sqrt{3}, \quad \sqrt{75} — 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} — 4\sqrt{5}, \quad \frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}} = \frac{1}{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}}.\)

Противоположными числами являются

\(\left(\sqrt{80} — 5\sqrt{3}\right) \text{ и } \left(\sqrt{75} — 4\sqrt{5}\right):\)

\(\sqrt{80} — 5\sqrt{3} + \sqrt{75} — 4\sqrt{5} = 4\sqrt{5} — 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} — 4\sqrt{5} = 0.\)

Взаимно обратными числами являются

\(\left(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}\right) \text{ и } \left(\frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}}\right):\)

\(\left(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}} = \frac{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}}{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}} = 1.\)

\(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{80} — 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} — 5\sqrt{3}, \quad \frac{1}{2\sqrt{3} — 6},\)

\(6 — \sqrt{12} = 6 — 2\sqrt{3}, \quad \sqrt{75} — 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} — 4\sqrt{5}, \quad \frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}} = \frac{1}{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}}.\)

Противоположными числами являются

\(\left(\sqrt{80} — 5\sqrt{3}\right) \text{ и } \left(\sqrt{75} — 4\sqrt{5}\right):\)

Для проверки, что два числа противоположны, нужно показать, что их сумма равна нулю. Сложим данные выражения:

\(\sqrt{80} — 5\sqrt{3} + \sqrt{75} — 4\sqrt{5} = (4\sqrt{5} — 5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3} — 4\sqrt{5})\).

Здесь мы заменили корни на более простые выражения: \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\), \(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\). Теперь складываем:

\(4\sqrt{5} — 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} — 4\sqrt{5} = (4\sqrt{5} — 4\sqrt{5}) + (-5\sqrt{3} + 5\sqrt{3}) = 0.\)

Это доказывает, что данные числа действительно противоположны.

Взаимно обратными числами являются

\(\left(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}\right) \text{ и } \left(\frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}}\right):\)

Чтобы проверить, что два числа взаимно обратны, нужно убедиться, что их произведение равно единице. Для этого перемножим:

\(\left(15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{675} — \sqrt{32}} = \frac{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}}{\sqrt{675} — \sqrt{32}}\).

Обратим внимание, что \(\sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}\), а \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\). Подставим это:

\(\frac{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}}{15\sqrt{3} — 4\sqrt{2}} = 1.\)

Таким образом, произведение равно единице, что и доказывает взаимную обратность данных чисел.