ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 433 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\frac{9 — x^2}{4x} — \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} — 2\) и найдите его значение при \(x = -2,5\).

\(\frac{9 — x^2}{4x} — \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} — 2 = \frac{(3 — x)(3 + x)}{4x} — \frac{8x}{(x + 3)^2} — 2 = \frac{2(3 — x)}{3 + x} — 2(3 + x) =\)
\(= \frac{2(3 — x) — 2(3 + x)}{3 + x} = \frac{6 — 2x — 6 — 2x}{3 + x} = \frac{-4x}{3 + x},\)
при \(x = -2,5:\)
\(\frac{-4 \cdot (-2,5)}{3 — 2,5} = \frac{10}{0,5} = 10 \cdot 2 = 20.\)

Для начала преобразуем выражение \(\frac{9 — x^2}{4x} — \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} — 2\). Заметим, что \(9 — x^2\) можно представить как разность квадратов: \(9 — x^2 = (3 — x)(3 + x)\). Также знаменатель второго дробного выражения \(x^2 + 6x + 9\) — это полный квадрат: \((x + 3)^2\). Таким образом, выражение перепишется как \(\frac{(3 — x)(3 + x)}{4x} — \frac{8x}{(x + 3)^2} — 2\).

Далее приведём все слагаемые к общему виду, чтобы упростить выражение. Для удобства рассмотрим дроби по отдельности и попытаемся привести их к общему знаменателю. Вторую дробь можно представить как \(\frac{8x}{(x + 3)^2}\), а первую — как \(\frac{(3 — x)(3 + x)}{4x}\). Чтобы упростить вычисления, рассмотрим выражение \(\frac{2(3 — x)}{3 + x} — 2(3 + x)\), которое получается после некоторых преобразований, связанных с приведением дробей к общему знаменателю и сокращением.

Теперь объединим числитель и знаменатель в одну дробь: \(\frac{2(3 — x) — 2(3 + x)}{3 + x}\). Раскроем скобки в числителе: \(2(3 — x) = 6 — 2x\), \(2(3 + x) = 6 + 2x\), тогда числитель равен \(6 — 2x — 6 — 2x = -4x\). Получаем \(\frac{-4x}{3 + x}\). Для проверки подставим значение \(x = -2,5\). Тогда числитель: \(-4 \cdot (-2,5) = 10\), знаменатель: \(3 — 2,5 = 0,5\). Деление даёт \(\frac{10}{0,5} = 20\).

Таким образом, исходное выражение при \(x = -2,5\) равно 20. Все преобразования основаны на разложении многочленов, приведении дробей к общему знаменателю и упрощении алгебраических выражений. Важно внимательно раскрывать скобки и следить за знаками при вычитании, чтобы не допустить ошибок.