Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 437 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:
а) \(\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)
б) \(\sqrt{11-4\sqrt{7}}\)
а) \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{1+2\sqrt{5}+5} = \sqrt{(1+\sqrt{5})^2} = 1 + \sqrt{5} \)
Представляем подкоренное выражение как полный квадрат. Замечаем, что \( 6+2\sqrt{5} = 1 + 2\sqrt{5} + 5 \), что соответствует формуле \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a = 1 \) и \( b = \sqrt{5} \). Извлекая квадратный корень из полного квадрата, получаем \( 1 + \sqrt{5} \).
б) \( \sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{7-4\sqrt{7}+4} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = \sqrt{7}-2 \)
Преобразуем подкоренное выражение в полный квадрат. Заметим, что \( 11-4\sqrt{7} = 7 — 4\sqrt{7} + 4 \), что является разложением \( (\sqrt{7}-2)^2 \). Извлекая корень из полного квадрата, получаем \( \sqrt{7}-2 \). Результат положителен, так как \( \sqrt{7} \approx 2,646 > 2 \).
а) Для упрощения выражения (√(6+2√5)) необходимо представить подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы двух чисел. Заметим, что число 6 можно разложить как 1 + 5, а коэффициент 2 перед корнем из 5 указывает на удвоенное произведение. Если предположить, что (6+2√5) = (a+b)², то раскрывая скобки получаем a² + 2ab + b². Сравнивая с исходным выражением, видим, что a² + b² = 6 и 2ab = 2√5, откуда ab = √5. Из этих условий следует, что a = 1 и b = √5, так как 1² + (√5)² = 1 + 5 = 6 и 2·1·√5 = 2√5.
Проверим полученное разложение: (1 + √5)² = 1 + 2√5 + 5 = 6 + 2√5. Это подтверждает, что подкоренное выражение действительно является полным квадратом. Теперь можем переписать исходное выражение как √((1 + √5)²). При извлечении квадратного корня из полного квадрата получаем абсолютное значение выражения в скобках: |1 + √5|. Поскольку √5 ≈ 2,236, сумма 1 + √5 ≈ 3,236 является положительным числом, поэтому абсолютное значение просто равно самому выражению.
Таким образом, (√(6+2√5)) = (√((1+√5)²)) = |1+√5| = 1+√5. Ответ: 1+√5.
б) Для упрощения выражения (√(11-4√7)) применяем аналогичный метод представления подкоренного выражения как полного квадрата разности. Число 11 можно представить как 7 + 4, а коэффициент -4 перед корнем из 7 указывает на удвоенное произведение с отрицательным знаком. Предположим, что (11-4√7) = (a-b)², тогда раскрывая скобки получаем a² — 2ab + b². Сравнивая с исходным выражением, видим, что a² + b² = 11 и 2ab = 4√7, откуда ab = 2√7. Из этих условий следует, что a = √7 и b = 2, так как (√7)² + 2² = 7 + 4 = 11 и 2·√7·2 = 4√7.
Проверим полученное разложение: (√7 — 2)² = 7 — 4√7 + 4 = 11 — 4√7. Это подтверждает правильность представления подкоренного выражения как полного квадрата разности. Теперь переписываем исходное выражение как √((√7 — 2)²). При извлечении квадратного корня из полного квадрата получаем абсолютное значение выражения в скобках: |√7 — 2|. Необходимо определить знак выражения √7 — 2: поскольку √7 ≈ 2,646, то √7 — 2 ≈ 0,646, что является положительным числом.
Следовательно, абсолютное значение |√7 — 2| равно самому выражению √7 — 2. Таким образом, (√(11-4√7)) = (√((√7-2)²)) = |√7-2| = √7-2. Ответ: √7-2.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!