ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 437 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

а) \(\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)

б) \(\sqrt{11-4\sqrt{7}}\)

а) \( \sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{1+2\sqrt{5}+5} = \sqrt{(1+\sqrt{5})^2} = 1 + \sqrt{5} \)

Представляем подкоренное выражение как полный квадрат. Замечаем, что \( 6+2\sqrt{5} = 1 + 2\sqrt{5} + 5 \), что соответствует формуле \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a = 1 \) и \( b = \sqrt{5} \). Извлекая квадратный корень из полного квадрата, получаем \( 1 + \sqrt{5} \).

б) \( \sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{7-4\sqrt{7}+4} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = \sqrt{7}-2 \)

Преобразуем подкоренное выражение в полный квадрат. Заметим, что \( 11-4\sqrt{7} = 7 — 4\sqrt{7} + 4 \), что является разложением \( (\sqrt{7}-2)^2 \). Извлекая корень из полного квадрата, получаем \( \sqrt{7}-2 \). Результат положителен, так как \( \sqrt{7} \approx 2,646 > 2 \).

а) Для упрощения выражения (√(6+2√5)) необходимо представить подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы двух чисел. Заметим, что число 6 можно разложить как 1 + 5, а коэффициент 2 перед корнем из 5 указывает на удвоенное произведение. Если предположить, что (6+2√5) = (a+b)², то раскрывая скобки получаем a² + 2ab + b². Сравнивая с исходным выражением, видим, что a² + b² = 6 и 2ab = 2√5, откуда ab = √5. Из этих условий следует, что a = 1 и b = √5, так как 1² + (√5)² = 1 + 5 = 6 и 2·1·√5 = 2√5.

Проверим полученное разложение: (1 + √5)² = 1 + 2√5 + 5 = 6 + 2√5. Это подтверждает, что подкоренное выражение действительно является полным квадратом. Теперь можем переписать исходное выражение как √((1 + √5)²). При извлечении квадратного корня из полного квадрата получаем абсолютное значение выражения в скобках: |1 + √5|. Поскольку √5 ≈ 2,236, сумма 1 + √5 ≈ 3,236 является положительным числом, поэтому абсолютное значение просто равно самому выражению.

Таким образом, (√(6+2√5)) = (√((1+√5)²)) = |1+√5| = 1+√5. Ответ: 1+√5.

б) Для упрощения выражения (√(11-4√7)) применяем аналогичный метод представления подкоренного выражения как полного квадрата разности. Число 11 можно представить как 7 + 4, а коэффициент -4 перед корнем из 7 указывает на удвоенное произведение с отрицательным знаком. Предположим, что (11-4√7) = (a-b)², тогда раскрывая скобки получаем a² — 2ab + b². Сравнивая с исходным выражением, видим, что a² + b² = 11 и 2ab = 4√7, откуда ab = 2√7. Из этих условий следует, что a = √7 и b = 2, так как (√7)² + 2² = 7 + 4 = 11 и 2·√7·2 = 4√7.

Проверим полученное разложение: (√7 — 2)² = 7 — 4√7 + 4 = 11 — 4√7. Это подтверждает правильность представления подкоренного выражения как полного квадрата разности. Теперь переписываем исходное выражение как √((√7 — 2)²). При извлечении квадратного корня из полного квадрата получаем абсолютное значение выражения в скобках: |√7 — 2|. Необходимо определить знак выражения √7 — 2: поскольку √7 ≈ 2,646, то √7 — 2 ≈ 0,646, что является положительным числом.

Следовательно, абсолютное значение |√7 — 2| равно самому выражению √7 — 2. Таким образом, (√(11-4√7)) = (√((√7-2)²)) = |√7-2| = √7-2. Ответ: √7-2.