ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 438 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{2}\)

б) \(\sqrt{27-5\sqrt{8}+\sqrt{2}}\)

а) \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2} — \sqrt{2}} = \sqrt{9 + 6\sqrt{2} + 2 — \sqrt{2}} = \)
\( = \sqrt{\left(3 + \sqrt{2}\right)^2} — \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2} — \sqrt{2} = 3 \)

б) \( \sqrt{27 — 5\sqrt{8} + \sqrt{2}} = \sqrt{25 — 5 \cdot 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}} = \)
\( = \sqrt{\left(5 — \sqrt{2}\right)^2} + \sqrt{2} = 5 — \sqrt{2} + \sqrt{2} = 5 \)

а) Рассмотрим выражение √(11 + 6√2 — √2). Сначала преобразуем подкоренное выражение, выделяя целые числа и корни: 11 разбиваем как 9 + 2, а 6√2 — √2 приводим к 5√2. Тогда получается √(9 + 2 + 5√2) = √(9 + 5√2 + 2). Следующий шаг — попытка представить выражение под корнем в виде квадрата суммы двух слагаемых, то есть (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь заметим, что 9 и 2 — это квадраты чисел 3 и √2 соответственно, а 6√2 — это удвоенное произведение 3 и √2. Значит, √(9 + 6√2 + 2) = √((3 + √2)²).

Поскольку корень из квадрата числа равен самому числу (при условии, что число неотрицательное), получаем √((3 + √2)²) = 3 + √2. Теперь вернемся к исходному выражению: √(11 + 6√2 — √2) = 3 + √2 — √2, так как в исходном выражении вычитается √2. Итог: 3 + √2 — √2 = 3.

б) Рассмотрим выражение √(27 — 5√8 + √2). Сначала упростим корни: √8 = 2√2, значит, −5√8 = −5 · 2√2 = −10√2. Подкоренное выражение становится 27 — 10√2 + √2 = 27 — 9√2. Далее выделим квадрат суммы, чтобы упростить корень. Заметим, что 27 — это 25 + 2, и попробуем представить выражение как (5 — √2)² = 25 — 2·5·√2 + (√2)² = 25 — 10√2 + 2.

Таким образом, √(27 — 10√2 + √2) = √(25 — 10√2 + 2 + √2) = √((5 — √2)² + √2). Возвращаясь к исходному выражению, получаем √((5 — √2)²) + √2 = 5 — √2 + √2, так как корень из квадрата равен самому числу при неотрицательном значении. В итоге 5 — √2 + √2 = 5.