ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 439 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:
а) \(\sqrt{55 + \sqrt{216}}\);
б) \(\sqrt{86 — \sqrt{5460}}\);
в) \(\sqrt{17 + \sqrt{288}}\);
г) \(\sqrt{32 — \sqrt{1008}}\).

а) \(\sqrt{55 + \sqrt{216}} = \sqrt{55 + \sqrt{36 \cdot 6}} = \sqrt{54 + 6\sqrt{6} + 1} =\)
\(= \sqrt{54 + 2\sqrt{54} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{54} + 1\right)^2} = \sqrt{54} + 1\)

б) \(\sqrt{86 — \sqrt{5460}} = \sqrt{86 — \sqrt{4 \cdot 1365}} = \sqrt{86 — 2\sqrt{1365}} =\)
\(= \sqrt{65 + 21 — 2\sqrt{65} \cdot \sqrt{21}} = \sqrt{\left(\sqrt{65} — \sqrt{21}\right)^2} = \sqrt{65} — \sqrt{21}\)

в) \(\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{17 + \sqrt{4 \cdot 72}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{8 \cdot 9} + 9} =\)
\(= \sqrt{\left(\sqrt{8} + \sqrt{9}\right)^2} = \sqrt{8} + \sqrt{9}\)

г) \(\sqrt{32 — \sqrt{1008}} = \sqrt{32 — 2\sqrt{252}} = \sqrt{14 — 2\sqrt{14 \cdot 18} + 18} =\)
\(= \sqrt{\left(\sqrt{14} — \sqrt{18}\right)^2} = \sqrt{14} — \sqrt{18}\)

а) Рассмотрим выражение \(\sqrt{55 + \sqrt{216}}\). Для упрощения подкоренного выражения сначала разложим число 216 на множители, выделяя полный квадрат: \(\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6}\). Поскольку \(\sqrt{36} = 6\), получаем \(\sqrt{216} = 6\sqrt{6}\). Подставляем это обратно: \(\sqrt{55 + 6\sqrt{6}}\).

Теперь попробуем представить это выражение в виде квадрата суммы двух корней: \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Если раскрыть квадрат, то получим \(a + b + 2\sqrt{ab}\). Сравнивая с нашим выражением, видим, что \(a + b = 55\) и \(2\sqrt{ab} = 6\sqrt{6}\). Из второго равенства следует \(\sqrt{ab} = 3\sqrt{6}\), значит \(ab = 9 \cdot 6 = 54\).

Решая систему \(a + b = 55\), \(ab = 54\), находим \(a = 54\), \(b = 1\). Тогда исходное выражение равно \(\sqrt{54} + \sqrt{1} = \sqrt{54} + 1\).

б) В выражении \(\sqrt{86 — \sqrt{5460}}\) сначала упростим подкоренное число: \(\sqrt{5460} = \sqrt{4 \cdot 1365} = 2\sqrt{1365}\). Подставим: \(\sqrt{86 — 2\sqrt{1365}}\).

Попытаемся представить это выражение в виде разности двух корней: \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\). Раскрывая квадрат, получаем \(a + b — 2\sqrt{ab}\). Сравнивая с выражением, видим, что \(a + b = 86\) и \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{1365}\), значит \(\sqrt{ab} = \sqrt{1365}\), откуда \(ab = 1365\).

Решая систему \(a + b = 86\), \(ab = 1365\), находим \(a = 65\), \(b = 21\). Следовательно, выражение равно \(\sqrt{65} — \sqrt{21}\).

в) Рассмотрим \(\sqrt{17 + \sqrt{288}}\). Упростим \(\sqrt{288} = \sqrt{4 \cdot 72} = 2\sqrt{72}\). Подставим: \(\sqrt{17 + 2\sqrt{72}}\).

Представим выражение в виде суммы двух корней: \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Раскрывая квадрат, получаем \(a + b + 2\sqrt{ab}\). Сравнивая, видим, что \(a + b = 17\) и \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{72}\), значит \(\sqrt{ab} = \sqrt{72}\), откуда \(ab = 72\).

Решая систему \(a + b = 17\), \(ab = 72\), находим \(a = 8\), \(b = 9\). Значит исходное выражение равно \(\sqrt{8} + \sqrt{9}\).

г) В выражении \(\sqrt{32 — \sqrt{1008}}\) упростим \(\sqrt{1008} = \sqrt{4 \cdot 252} = 2\sqrt{252}\). Подставим: \(\sqrt{32 — 2\sqrt{252}}\).

Представим выражение в виде разности двух корней: \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\). Раскрывая квадрат, получаем \(a + b — 2\sqrt{ab}\). Из равенств \(a + b = 32\) и \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{252}\) следует \(\sqrt{ab} = \sqrt{252}\), значит \(ab = 252\).

Решая систему \(a + b = 32\), \(ab = 252\), находим \(a = 14\), \(b = 18\). Следовательно, исходное выражение равно \(\sqrt{14} — \sqrt{18}\).