Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 439 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:
а) \(\sqrt{55 + \sqrt{216}}\);
б) \(\sqrt{86 — \sqrt{5460}}\);
в) \(\sqrt{17 + \sqrt{288}}\);
г) \(\sqrt{32 — \sqrt{1008}}\).
а) \(\sqrt{55 + \sqrt{216}} = \sqrt{55 + \sqrt{36 \cdot 6}} = \sqrt{54 + 6\sqrt{6} + 1} =\)
\(= \sqrt{54 + 2\sqrt{54} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{54} + 1\right)^2} = \sqrt{54} + 1\)
б) \(\sqrt{86 — \sqrt{5460}} = \sqrt{86 — \sqrt{4 \cdot 1365}} = \sqrt{86 — 2\sqrt{1365}} =\)
\(= \sqrt{65 + 21 — 2\sqrt{65} \cdot \sqrt{21}} = \sqrt{\left(\sqrt{65} — \sqrt{21}\right)^2} = \sqrt{65} — \sqrt{21}\)
в) \(\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{17 + \sqrt{4 \cdot 72}} = \sqrt{8 + 2\sqrt{8 \cdot 9} + 9} =\)
\(= \sqrt{\left(\sqrt{8} + \sqrt{9}\right)^2} = \sqrt{8} + \sqrt{9}\)
г) \(\sqrt{32 — \sqrt{1008}} = \sqrt{32 — 2\sqrt{252}} = \sqrt{14 — 2\sqrt{14 \cdot 18} + 18} =\)
\(= \sqrt{\left(\sqrt{14} — \sqrt{18}\right)^2} = \sqrt{14} — \sqrt{18}\)
а) Рассмотрим выражение \(\sqrt{55 + \sqrt{216}}\). Для упрощения подкоренного выражения сначала разложим число 216 на множители, выделяя полный квадрат: \(\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6}\). Поскольку \(\sqrt{36} = 6\), получаем \(\sqrt{216} = 6\sqrt{6}\). Подставляем это обратно: \(\sqrt{55 + 6\sqrt{6}}\).
Теперь попробуем представить это выражение в виде квадрата суммы двух корней: \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Если раскрыть квадрат, то получим \(a + b + 2\sqrt{ab}\). Сравнивая с нашим выражением, видим, что \(a + b = 55\) и \(2\sqrt{ab} = 6\sqrt{6}\). Из второго равенства следует \(\sqrt{ab} = 3\sqrt{6}\), значит \(ab = 9 \cdot 6 = 54\).
Решая систему \(a + b = 55\), \(ab = 54\), находим \(a = 54\), \(b = 1\). Тогда исходное выражение равно \(\sqrt{54} + \sqrt{1} = \sqrt{54} + 1\).
б) В выражении \(\sqrt{86 — \sqrt{5460}}\) сначала упростим подкоренное число: \(\sqrt{5460} = \sqrt{4 \cdot 1365} = 2\sqrt{1365}\). Подставим: \(\sqrt{86 — 2\sqrt{1365}}\).
Попытаемся представить это выражение в виде разности двух корней: \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\). Раскрывая квадрат, получаем \(a + b — 2\sqrt{ab}\). Сравнивая с выражением, видим, что \(a + b = 86\) и \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{1365}\), значит \(\sqrt{ab} = \sqrt{1365}\), откуда \(ab = 1365\).
Решая систему \(a + b = 86\), \(ab = 1365\), находим \(a = 65\), \(b = 21\). Следовательно, выражение равно \(\sqrt{65} — \sqrt{21}\).
в) Рассмотрим \(\sqrt{17 + \sqrt{288}}\). Упростим \(\sqrt{288} = \sqrt{4 \cdot 72} = 2\sqrt{72}\). Подставим: \(\sqrt{17 + 2\sqrt{72}}\).
Представим выражение в виде суммы двух корней: \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Раскрывая квадрат, получаем \(a + b + 2\sqrt{ab}\). Сравнивая, видим, что \(a + b = 17\) и \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{72}\), значит \(\sqrt{ab} = \sqrt{72}\), откуда \(ab = 72\).
Решая систему \(a + b = 17\), \(ab = 72\), находим \(a = 8\), \(b = 9\). Значит исходное выражение равно \(\sqrt{8} + \sqrt{9}\).
г) В выражении \(\sqrt{32 — \sqrt{1008}}\) упростим \(\sqrt{1008} = \sqrt{4 \cdot 252} = 2\sqrt{252}\). Подставим: \(\sqrt{32 — 2\sqrt{252}}\).
Представим выражение в виде разности двух корней: \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\). Раскрывая квадрат, получаем \(a + b — 2\sqrt{ab}\). Из равенств \(a + b = 32\) и \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{252}\) следует \(\sqrt{ab} = \sqrt{252}\), значит \(ab = 252\).
Решая систему \(a + b = 32\), \(ab = 252\), находим \(a = 14\), \(b = 18\). Следовательно, исходное выражение равно \(\sqrt{14} — \sqrt{18}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!