ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 44 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
a) \(\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}\)
б) \(\frac{y^6 — y^8}{y^4 — y^2}\)
в) \(\frac{b^7 — b^{10}}{b^5 — b^2}\)
г) \(\frac{c^6 — c^4}{c^3 — c^2}\)

(а) \(\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2} = \frac{x^2(x^4 + x^2)}{x^4 + x^2} = x^2\)

(б) \(\frac{y^6 — y^8}{y^4 — y^2} = \frac{y^4(y^2 — y^4)}{y^4 — y^2} = \frac{y^4(y^2 — y^4)}{-(y^2 — y^4)} = -y^4\)

(в) \(\frac{b^7 — b^{10}}{b^5 — b^2} = \frac{b^5(b^2 — b^5)}{b^5 — b^2} = \frac{b^5(b^2 — b^5)}{-(b^2 — b^5)} = -b^5\)

(г) \(\frac{c^6 — c^4}{c^3 — c^2} = \frac{c^4(c^2 — 1)}{c^2(c — 1)} = \frac{c^2(c — 1)(c + 1)}{c — 1} = c^2(c + 1) = c^3 + c^2\)

а) В данном выражении \(\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}\) первым шагом выделяем общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе это \(x^4\), так как \(x^6 = x^4 \cdot x^2\), а во знаменателе — \(x^2\). Записываем: \(\frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}\). Поскольку множители \(x^2 + 1\) в числителе и знаменателе совпадают и не равны нулю, их можно сократить. После сокращения остаётся \(\frac{x^4}{x^2}\).

Далее применяем свойства степеней: при делении степеней с одинаковым основанием степени вычитаются, то есть \(\frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(x^2\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{y^6 — y^8}{y^4 — y^2}\). В числителе выделяем общий множитель с наименьшей степенью \(y^6 = y^4 \cdot y^2\), но удобнее вынести \(y^4\), так как \(y^8 = y^4 \cdot y^4\). Записываем числитель как \(y^4(y^2 — y^4)\). Аналогично в знаменателе выделяем \(y^2\): \(y^4 — y^2 = y^2(y^2 — 1)\), но здесь удобнее оставить как есть и обратить внимание, что \(y^4 — y^2 = -(y^2 — y^4)\).

Далее замечаем, что \(y^2 — y^4 = -(y^4 — y^2)\), поэтому можно переписать дробь как \(\frac{y^4(y^2 — y^4)}{y^4 — y^2} = \frac{y^4(y^2 — y^4)}{-(y^2 — y^4)} = -y^4\). Получаем окончательный ответ \(-y^4\).

в) Для выражения \(\frac{b^7 — b^{10}}{b^5 — b^2}\) выделяем общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе вынесем \(b^7 = b^5 \cdot b^2\), поэтому удобнее выделить \(b^5\): \(b^7 — b^{10} = b^5(b^2 — b^5)\). Знаменатель уже частично разложен: \(b^5 — b^2\).

Обращаем внимание, что \(b^5 — b^2 = -(b^2 — b^5)\). Подставляем и получаем \(\frac{b^5(b^2 — b^5)}{b^5 — b^2} = \frac{b^5(b^2 — b^5)}{-(b^2 — b^5)} = -b^5\).

г) Рассмотрим выражение \(\frac{c^6 — c^4}{c^3 — c^2}\). В числителе выделяем общий множитель \(c^4\), так как \(c^6 = c^4 \cdot c^2\), получается \(c^4(c^2 — 1)\). В знаменателе выделяем \(c^2\): \(c^3 — c^2 = c^2(c — 1)\).

Далее раскладываем \(c^2 — 1\) по формуле разности квадратов: \(c^2 — 1 = (c — 1)(c + 1)\). Тогда числитель становится \(c^4 (c — 1)(c + 1)\), а знаменатель — \(c^2 (c — 1)\).

Сокращаем множитель \(c — 1\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{c^4 (c + 1)}{c^2} = c^{4-2}(c + 1) = c^2(c + 1)\). Раскрывая скобки, получаем \(c^3 + c^2\).