ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 440 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение, вычислив предварительно значение \(a^2\), если:
а) \(a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}}\);
б) \(a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}}\).

а) \( a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \)
\( a^2 = \left( \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \right)^2 = 11 + \sqrt{85} — \)
\(- 2 \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 — \sqrt{85})} + 11 — \sqrt{85} = \)
\(= 22 — 2 \sqrt{121 — 85} = 22 — 2 \sqrt{36} = 22 — 2 \cdot 6 = 22 — 12 = 10.\)

б) \( a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \)
\( a^2 = \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \right)^2 = 3 + \sqrt{5} + \)
\(+ 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5})} + 3 — \sqrt{5} = 6 + 2 \sqrt{9 — 5} = \)
\(= 6 + 2 \sqrt{4} = 6 + 4 = 10.\)

а) Начинаем с выражения \( a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \). Чтобы упростить это выражение, возведём его в квадрат, так как квадрат разности корней позволяет избавиться от корней в виде разности. Получаем
\( a^2 = \left( \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \right)^2 \).
Раскроем квадрат по формуле \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где
\( x = \sqrt{11 + \sqrt{85}} \),
\( y = \sqrt{11 — \sqrt{85}} \).

Далее, возводя в квадрат, получаем
\( a^2 = (11 + \sqrt{85}) — 2 \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 — \sqrt{85})} + (11 — \sqrt{85}) \).
Сложим первые и последние слагаемые: \( 11 + \sqrt{85} + 11 — \sqrt{85} = 22 \), так как корни взаимно уничтожаются.
Остаётся вычислить подкоренное выражение в среднем слагаемом:
\( (11 + \sqrt{85})(11 — \sqrt{85}) = 11^2 — (\sqrt{85})^2 = 121 — 85 = 36 \).
Подставляем обратно:
\( a^2 = 22 — 2 \sqrt{36} = 22 — 2 \cdot 6 = 22 — 12 = 10 \).
Таким образом, \( a^2 = 10 \), и следовательно, \( a = \sqrt{10} \) или \( a = -\sqrt{10} \), но по условию берём положительный корень.

б) Рассмотрим выражение \( a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \). Аналогично первому пункту, возводим в квадрат для упрощения:
\( a^2 = \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \right)^2 \).
Применяем формулу квадрата суммы \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где
\( x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} \),
\( y = \sqrt{3 — \sqrt{5}} \).

Раскроем скобки:
\( a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5})} + (3 — \sqrt{5}) \).
Сложим первые и последние слагаемые:
\( 3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} = 6 \), корни взаимно уничтожаются.
Вычислим подкоренное выражение:
\( (3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5}) = 3^2 — (\sqrt{5})^2 = 9 — 5 = 4 \).
Подставим обратно:
\( a^2 = 6 + 2 \sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10 \).
Отсюда \( a^2 = 10 \), и \( a = \sqrt{10} \) (положительный корень).