Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 440 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение, вычислив предварительно значение \(a^2\), если:
а) \(a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}}\);
б) \(a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}}\).
а) \( a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \)
\( a^2 = \left( \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \right)^2 = 11 + \sqrt{85} — \)
\(- 2 \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 — \sqrt{85})} + 11 — \sqrt{85} = \)
\(= 22 — 2 \sqrt{121 — 85} = 22 — 2 \sqrt{36} = 22 — 2 \cdot 6 = 22 — 12 = 10.\)
б) \( a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \)
\( a^2 = \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \right)^2 = 3 + \sqrt{5} + \)
\(+ 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5})} + 3 — \sqrt{5} = 6 + 2 \sqrt{9 — 5} = \)
\(= 6 + 2 \sqrt{4} = 6 + 4 = 10.\)
а) Начинаем с выражения \( a = \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \). Чтобы упростить это выражение, возведём его в квадрат, так как квадрат разности корней позволяет избавиться от корней в виде разности. Получаем
\( a^2 = \left( \sqrt{11 + \sqrt{85}} — \sqrt{11 — \sqrt{85}} \right)^2 \).
Раскроем квадрат по формуле \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \), где
\( x = \sqrt{11 + \sqrt{85}} \),
\( y = \sqrt{11 — \sqrt{85}} \).
Далее, возводя в квадрат, получаем
\( a^2 = (11 + \sqrt{85}) — 2 \sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 — \sqrt{85})} + (11 — \sqrt{85}) \).
Сложим первые и последние слагаемые: \( 11 + \sqrt{85} + 11 — \sqrt{85} = 22 \), так как корни взаимно уничтожаются.
Остаётся вычислить подкоренное выражение в среднем слагаемом:
\( (11 + \sqrt{85})(11 — \sqrt{85}) = 11^2 — (\sqrt{85})^2 = 121 — 85 = 36 \).
Подставляем обратно:
\( a^2 = 22 — 2 \sqrt{36} = 22 — 2 \cdot 6 = 22 — 12 = 10 \).
Таким образом, \( a^2 = 10 \), и следовательно, \( a = \sqrt{10} \) или \( a = -\sqrt{10} \), но по условию берём положительный корень.
б) Рассмотрим выражение \( a = \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \). Аналогично первому пункту, возводим в квадрат для упрощения:
\( a^2 = \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 — \sqrt{5}} \right)^2 \).
Применяем формулу квадрата суммы \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), где
\( x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} \),
\( y = \sqrt{3 — \sqrt{5}} \).
Раскроем скобки:
\( a^2 = (3 + \sqrt{5}) + 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5})} + (3 — \sqrt{5}) \).
Сложим первые и последние слагаемые:
\( 3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} = 6 \), корни взаимно уничтожаются.
Вычислим подкоренное выражение:
\( (3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5}) = 3^2 — (\sqrt{5})^2 = 9 — 5 = 4 \).
Подставим обратно:
\( a^2 = 6 + 2 \sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10 \).
Отсюда \( a^2 = 10 \), и \( a = \sqrt{10} \) (положительный корень).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!