Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 441 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
а) \(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}}\);
б) \(\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\)?
а) \(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{12} + 1} -\)
\(- \sqrt{12 — 2\sqrt{12} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{12} + 1\right)^2} — \sqrt{\left(\sqrt{12} — 1\right)^2} =\)
\(= \sqrt{12} + 1 — \sqrt{12} + 1 = 2\) – рациональное число.
б) \(\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} = \sqrt{17 — 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2} +\)
\(+ \sqrt{17 + 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2} = \sqrt{\left(\sqrt{17} — \sqrt{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{17} + \sqrt{2}\right)^2} =\)
\(= \sqrt{17} — \sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{2} = 2\sqrt{17}\) – иррациональное число.
а) Рассмотрим выражение \(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}}\). Сначала упростим подкоренные выражения. Заметим, что \(13\) можно представить как сумму \(12 + 1\), а \(4\sqrt{3}\) — как \(2 \cdot 2\sqrt{3}\). Тогда первое выражение под корнем перепишем как \(\sqrt{12 + 2\sqrt{12} + 1}\), поскольку \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), и \(4\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{12}\). Аналогично, второе выражение под корнем становится \(\sqrt{12 — 2\sqrt{12} + 1}\).
Далее заметим, что \(\sqrt{12 + 2\sqrt{12} + 1} = \sqrt{(\sqrt{12} + 1)^2}\), а \(\sqrt{12 — 2\sqrt{12} + 1} = \sqrt{(\sqrt{12} — 1)^2}\). Извлекая корень из квадрата, получаем \(\sqrt{12} + 1\) и \(\sqrt{12} — 1\) соответственно. Теперь вычисляем разность: \(\sqrt{12} + 1 — (\sqrt{12} — 1) = \sqrt{12} + 1 — \sqrt{12} + 1 = 2\). Таким образом, исходное выражение равно \(2\), что является рациональным числом.
б) Рассмотрим сумму \(\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\). Для упрощения представим число 19 как \(17 + 2\), а выражение под корнем — в виде \(\sqrt{17 — 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2}\) и \(\sqrt{17 + 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2}\). Это позволяет переписать корни как квадраты разности и суммы: \(\sqrt{(\sqrt{17} — \sqrt{2})^2}\) и \(\sqrt{(\sqrt{17} + \sqrt{2})^2}\).
Извлекая корни, получаем \(\sqrt{17} — \sqrt{2}\) и \(\sqrt{17} + \sqrt{2}\). Складывая эти выражения, имеем \(\sqrt{17} — \sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{2} = 2\sqrt{17}\). Это число иррационально, так как \(\sqrt{17}\) не является рациональным числом. Следовательно, сумма равна \(2\sqrt{17}\), что и было нужно доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!