ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 441 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
а) \(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}}\);
б) \(\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\)?

а) \(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{12} + 1} -\)
\(- \sqrt{12 — 2\sqrt{12} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{12} + 1\right)^2} — \sqrt{\left(\sqrt{12} — 1\right)^2} =\)
\(= \sqrt{12} + 1 — \sqrt{12} + 1 = 2\) – рациональное число.

б) \(\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} = \sqrt{17 — 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2} +\)
\(+ \sqrt{17 + 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2} = \sqrt{\left(\sqrt{17} — \sqrt{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{17} + \sqrt{2}\right)^2} =\)
\(= \sqrt{17} — \sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{2} = 2\sqrt{17}\) – иррациональное число.

а) Рассмотрим выражение \(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}}\). Сначала упростим подкоренные выражения. Заметим, что \(13\) можно представить как сумму \(12 + 1\), а \(4\sqrt{3}\) — как \(2 \cdot 2\sqrt{3}\). Тогда первое выражение под корнем перепишем как \(\sqrt{12 + 2\sqrt{12} + 1}\), поскольку \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), и \(4\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{12}\). Аналогично, второе выражение под корнем становится \(\sqrt{12 — 2\sqrt{12} + 1}\).

Далее заметим, что \(\sqrt{12 + 2\sqrt{12} + 1} = \sqrt{(\sqrt{12} + 1)^2}\), а \(\sqrt{12 — 2\sqrt{12} + 1} = \sqrt{(\sqrt{12} — 1)^2}\). Извлекая корень из квадрата, получаем \(\sqrt{12} + 1\) и \(\sqrt{12} — 1\) соответственно. Теперь вычисляем разность: \(\sqrt{12} + 1 — (\sqrt{12} — 1) = \sqrt{12} + 1 — \sqrt{12} + 1 = 2\). Таким образом, исходное выражение равно \(2\), что является рациональным числом.

б) Рассмотрим сумму \(\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\). Для упрощения представим число 19 как \(17 + 2\), а выражение под корнем — в виде \(\sqrt{17 — 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2}\) и \(\sqrt{17 + 2\sqrt{17 \cdot 2} + 2}\). Это позволяет переписать корни как квадраты разности и суммы: \(\sqrt{(\sqrt{17} — \sqrt{2})^2}\) и \(\sqrt{(\sqrt{17} + \sqrt{2})^2}\).

Извлекая корни, получаем \(\sqrt{17} — \sqrt{2}\) и \(\sqrt{17} + \sqrt{2}\). Складывая эти выражения, имеем \(\sqrt{17} — \sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{2} = 2\sqrt{17}\). Это число иррационально, так как \(\sqrt{17}\) не является рациональным числом. Следовательно, сумма равна \(2\sqrt{17}\), что и было нужно доказать.