ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 442 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{\sqrt{4 — \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}}\);
б) \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\);
в) \(\frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2}\).

\( \text{а) } \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} \cdot \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4-\sqrt{11}}} = \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{16-11}} = \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(4-\sqrt{11})}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} — \sqrt{55}}{5} \)

\( \text{б) } \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 — 3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} \)

\( \text{в) } \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} — 2} = \frac{(\sqrt{5} — 2)^2}{5 — 4} = \frac{5 — 4\sqrt{5} + 4}{1} = 9 — 4\sqrt{5} \)

а) Начинаем с выражения \( \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} \). Для упрощения дроби умножаем числитель и знаменатель на сопряжённый корень знаменателя, то есть на \( \sqrt{4-\sqrt{11}} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем \( \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}} \). В числителе произведение двух одинаковых корней равно подкоренному выражению, то есть \( 4-\sqrt{11} \).

В знаменателе перемножаем корни с разными знаками подкоренных выражений: \( \sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} \). Это разность квадратов, равная \( \sqrt{16 — 11} = \sqrt{5} \). Таким образом, выражение принимает вид \( \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \), получая \( \frac{(4-\sqrt{11})\sqrt{5}}{5} \).

Раскрываем скобки в числителе: \( 4\sqrt{5} — \sqrt{11} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} — \sqrt{55} \). Итоговый ответ: \( \frac{4\sqrt{5} — \sqrt{55}}{5} \).

б) Рассмотрим выражение \( \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} \). Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5} + \sqrt{3} \), что даёт \( \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} — \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \).

В знаменателе произведение корней с разными знаками – это разность квадратов: \( 5 — 3 = 2 \). В числителе раскрываем квадрат суммы: \( (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 \). Получаем \( \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} \).

Делим числитель на знаменатель: \( \frac{8}{2} + \frac{2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} \). Это и есть окончательный ответ.

в) Исходное выражение \( \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} \) также рационализируем, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя \( \sqrt{5} — 2 \). Получаем \( \frac{(\sqrt{5} — 2)^2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} — 2)} \).

В знаменателе разность квадратов: \( 5 — 4 = 1 \). В числителе раскрываем квадрат разности: \( (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4 \).

Складываем числа: \( 5 + 4 = 9 \), поэтому числитель равен \( 9 — 4\sqrt{5} \). Поскольку знаменатель равен 1, итоговое выражение равно \( 9 — 4\sqrt{5} \).