Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 442 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\frac{\sqrt{4 — \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}}\);
б) \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\);
в) \(\frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2}\).
\( \text{а) } \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} \cdot \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4-\sqrt{11}}} = \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{16-11}} = \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(4-\sqrt{11})}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} — \sqrt{55}}{5} \)
\( \text{б) } \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 — 3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} \)
\( \text{в) } \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} — 2} = \frac{(\sqrt{5} — 2)^2}{5 — 4} = \frac{5 — 4\sqrt{5} + 4}{1} = 9 — 4\sqrt{5} \)
а) Начинаем с выражения \( \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} \). Для упрощения дроби умножаем числитель и знаменатель на сопряжённый корень знаменателя, то есть на \( \sqrt{4-\sqrt{11}} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем \( \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{11}}} \). В числителе произведение двух одинаковых корней равно подкоренному выражению, то есть \( 4-\sqrt{11} \).
В знаменателе перемножаем корни с разными знаками подкоренных выражений: \( \sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} \). Это разность квадратов, равная \( \sqrt{16 — 11} = \sqrt{5} \). Таким образом, выражение принимает вид \( \frac{4-\sqrt{11}}{\sqrt{5}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \), получая \( \frac{(4-\sqrt{11})\sqrt{5}}{5} \).
Раскрываем скобки в числителе: \( 4\sqrt{5} — \sqrt{11} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} — \sqrt{55} \). Итоговый ответ: \( \frac{4\sqrt{5} — \sqrt{55}}{5} \).
б) Рассмотрим выражение \( \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} \). Для рационализации знаменателя умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5} + \sqrt{3} \), что даёт \( \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} — \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \).
В знаменателе произведение корней с разными знаками – это разность квадратов: \( 5 — 3 = 2 \). В числителе раскрываем квадрат суммы: \( (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 \). Получаем \( \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} \).
Делим числитель на знаменатель: \( \frac{8}{2} + \frac{2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} \). Это и есть окончательный ответ.
в) Исходное выражение \( \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} + 2} \) также рационализируем, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя \( \sqrt{5} — 2 \). Получаем \( \frac{(\sqrt{5} — 2)^2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} — 2)} \).
В знаменателе разность квадратов: \( 5 — 4 = 1 \). В числителе раскрываем квадрат разности: \( (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4 \).
Складываем числа: \( 5 + 4 = 9 \), поэтому числитель равен \( 9 — 4\sqrt{5} \). Поскольку знаменатель равен 1, итоговое выражение равно \( 9 — 4\sqrt{5} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!