ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 443 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}}\).

\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} =\)

\(= \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)} =\)

\(= \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2^2 — \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 — (2+\sqrt{3})} =\)

\(= \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 — 2 — \sqrt{3}} = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} =\)

\(= \sqrt{2^2 — (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1.\)

\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)

В первую очередь заметим, что выражение представляет собой произведение трёх корней. Для упрощения удобно сгруппировать второй и третий корни, так как они имеют общий радикал \(2 \pm \sqrt{2+\sqrt{3}}\). Запишем это как произведение:

\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right) \cdot \left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\).

Далее применим свойство корня из произведения: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\), что позволяет объединить второй и третий корни под один корень:

\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}\).

Теперь рассмотрим выражение под вторым корнем. Используем формулу разности квадратов \((x+y)(x-y) = x^2 — y^2\), где \(x=2\), а \(y=\sqrt{2+\sqrt{3}}\). Тогда:

\((2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}) = 2^2 — \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2 = 4 — (2+\sqrt{3})\).

Упростим подкоренное выражение:

\(4 — 2 — \sqrt{3} = 2 — \sqrt{3}\).

Таким образом, исходное выражение упростилось до:

\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).

Снова применяем свойство произведения корней и получаем:

\(\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\).

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:

\(2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1\).

Отсюда:

\(\sqrt{1} = 1\).

Итоговое значение исходного выражения равно 1.