Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 443 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}}\).
\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} =\)
\(= \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)} =\)
\(= \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2^2 — \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 — (2+\sqrt{3})} =\)
\(= \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 — 2 — \sqrt{3}} = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} =\)
\(= \sqrt{2^2 — (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1.\)
\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
В первую очередь заметим, что выражение представляет собой произведение трёх корней. Для упрощения удобно сгруппировать второй и третий корни, так как они имеют общий радикал \(2 \pm \sqrt{2+\sqrt{3}}\). Запишем это как произведение:
\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right) \cdot \left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\).
Далее применим свойство корня из произведения: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\), что позволяет объединить второй и третий корни под один корень:
\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}\).
Теперь рассмотрим выражение под вторым корнем. Используем формулу разности квадратов \((x+y)(x-y) = x^2 — y^2\), где \(x=2\), а \(y=\sqrt{2+\sqrt{3}}\). Тогда:
\((2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}) = 2^2 — \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2 = 4 — (2+\sqrt{3})\).
Упростим подкоренное выражение:
\(4 — 2 — \sqrt{3} = 2 — \sqrt{3}\).
Таким образом, исходное выражение упростилось до:
\(\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}}\).
Снова применяем свойство произведения корней и получаем:
\(\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\).
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
\(2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1\).
Отсюда:
\(\sqrt{1} = 1\).
Итоговое значение исходного выражения равно 1.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!