ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 444 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:
а) \(\sqrt{10} + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\);
б) \(\sqrt{9} + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5}\).

а) \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \)

\[
\left(\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}}\right)^2 = \left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\right)^2
\]

\[
10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2 + 2\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)\sqrt{5} + 5
\]

\[
10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 2 + 2\sqrt{6} + 3 + 2\left(\sqrt{10} + \sqrt{15}\right) + 5
\]

\[
10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} \quad — \text{верно.}
\]

б) \( \sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5} \)

\[
\left(\sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}}\right)^2 = \left(1 + \sqrt{3} — \sqrt{5}\right)^2
\]

\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = (1 + \sqrt{3})^2 — 2(1 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2
\]

\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 — 2(\sqrt{5} + \sqrt{15}) + 5
\]

\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15}
\]

\[
9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15} \quad — \text{верно.}
\]

а) Рассмотрим выражение под корнем \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} \). Цель — упростить его до суммы корней вида \( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \). Для этого возьмём квадрат предполагаемого результата и проверим равенство. Квадрат суммы корней равен \( (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 \), что раскроется по формуле квадрата суммы: \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \).

Выполним возведение в квадрат: \( (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \sqrt{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{3} \sqrt{5} \), что равно \( 2 + 3 + 5 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} \). Сложив числа, получаем \( 10 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} \).

Теперь разложим исходное выражение под корнем: \( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} \). Корни можно упростить: \( \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} \), \( \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \), \( \sqrt{60} = 2 \sqrt{15} \). Подставляя, получаем \( 10 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} \), что совпадает с результатом квадрата суммы корней. Следовательно, исходное равенство верно, и \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \).

б) Рассмотрим выражение \( \sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}} \). Предполагается, что оно равно \( 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5} \). Проверим это, возведя правую часть в квадрат. Квадрат суммы с минусом равен \( (1 + \sqrt{3} — \sqrt{5})^2 = (1 + \sqrt{3})^2 — 2(1 + \sqrt{3}) \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \).

Раскроем скобки: \( (1)^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{3} \sqrt{5} + 5 \). Это будет \( 1 + 2 \sqrt{3} + 3 — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{15} + 5 \). Сложим числа: \( 1 + 3 + 5 = 9 \), итог: \( 9 + 2 \sqrt{3} — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{15} \).

Теперь упростим корни в исходном выражении под корнем: \( \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \), \( \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \), \( \sqrt{60} = 2 \sqrt{15} \). Подставим: \( 9 + 2 \sqrt{3} — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{15} \). Это совпадает с результатом возведения в квадрат правой части. Значит, исходное равенство верно, и \( \sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5} \).