Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 444 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что верно равенство:
а) \(\sqrt{10} + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\);
б) \(\sqrt{9} + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5}\).
а) \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \)
\[
\left(\sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}}\right)^2 = \left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\right)^2
\]
\[
10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = \left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2 + 2\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)\sqrt{5} + 5
\]
\[
10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 2 + 2\sqrt{6} + 3 + 2\left(\sqrt{10} + \sqrt{15}\right) + 5
\]
\[
10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} \quad — \text{верно.}
\]
б) \( \sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5} \)
\[
\left(\sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}}\right)^2 = \left(1 + \sqrt{3} — \sqrt{5}\right)^2
\]
\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = (1 + \sqrt{3})^2 — 2(1 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2
\]
\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 — 2(\sqrt{5} + \sqrt{15}) + 5
\]
\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15}
\]
\[
9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15} \quad — \text{верно.}
\]
а) Рассмотрим выражение под корнем \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} \). Цель — упростить его до суммы корней вида \( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \). Для этого возьмём квадрат предполагаемого результата и проверим равенство. Квадрат суммы корней равен \( (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 \), что раскроется по формуле квадрата суммы: \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \).
Выполним возведение в квадрат: \( (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \sqrt{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{3} \sqrt{5} \), что равно \( 2 + 3 + 5 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} \). Сложив числа, получаем \( 10 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} \).
Теперь разложим исходное выражение под корнем: \( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} \). Корни можно упростить: \( \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} \), \( \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \), \( \sqrt{60} = 2 \sqrt{15} \). Подставляя, получаем \( 10 + 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} \), что совпадает с результатом квадрата суммы корней. Следовательно, исходное равенство верно, и \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \).
б) Рассмотрим выражение \( \sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}} \). Предполагается, что оно равно \( 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5} \). Проверим это, возведя правую часть в квадрат. Квадрат суммы с минусом равен \( (1 + \sqrt{3} — \sqrt{5})^2 = (1 + \sqrt{3})^2 — 2(1 + \sqrt{3}) \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \).
Раскроем скобки: \( (1)^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{3} \sqrt{5} + 5 \). Это будет \( 1 + 2 \sqrt{3} + 3 — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{15} + 5 \). Сложим числа: \( 1 + 3 + 5 = 9 \), итог: \( 9 + 2 \sqrt{3} — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{15} \).
Теперь упростим корни в исходном выражении под корнем: \( \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \), \( \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \), \( \sqrt{60} = 2 \sqrt{15} \). Подставим: \( 9 + 2 \sqrt{3} — 2 \sqrt{5} — 2 \sqrt{15} \). Это совпадает с результатом возведения в квадрат правой части. Значит, исходное равенство верно, и \( \sqrt{9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!