ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 445 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\sqrt{\frac{b+1}{2}} — \sqrt{\frac{b-1}{2}} + \sqrt{\frac{b+1}{2}} + \sqrt{\frac{b-1}{2}}\), где \(b > 1\);
б) \(\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} — \sqrt{\frac{c+4}{4} — \sqrt{c}}\), где \(c > 4\).

а) \(b \geq 1\)

\[
\sqrt{\frac{b+1}{2} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{b+1 — 2\sqrt{b}}{2}} — \sqrt{\frac{b+1 + 2\sqrt{b}}{2}} =
\]
\[
= \sqrt{\frac{\left(\sqrt{b} — 1\right)^2}{2}} — \sqrt{\frac{\left(\sqrt{b} + 1\right)^2}{2}} =
\]
\[
= \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{2}} — \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{b} — 1 — \sqrt{b} — 1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}
\]

б) \(c \geq 4\)

\[
\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} — \sqrt{\frac{c+4}{4} — \sqrt{c}} = \sqrt{\frac{c+4+4\sqrt{c}}{4}} — \sqrt{\frac{c+4-4\sqrt{c}}{4}} =
\]
\[
= \sqrt{\frac{\left(\sqrt{c} + 2\right)^2}{4}} — \sqrt{\frac{\left(\sqrt{c} — 2\right)^2}{4}} =
\]
\[
= \frac{\sqrt{c} + 2}{2} — \frac{\sqrt{c} — 2}{2} = \frac{\sqrt{c} + 2 — \sqrt{c} + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

а) Рассмотрим выражение при условии \( b \geq 1 \):

\[
\sqrt{\frac{b+1}{2} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}}.
\]

Для упрощения сначала преобразуем подкоренные выражения. В первом корне у нас разность, а во втором — сумма. Обозначим \( x = \sqrt{b} \), тогда выражения внутри корней можно переписать так:

\[
\frac{b+1}{2} — \sqrt{b} = \frac{b+1}{2} — x, \quad \frac{b+1}{2} + \sqrt{b} = \frac{b+1}{2} + x.
\]

Далее заметим, что \( b = x^2 \), значит:

\[
\frac{b+1}{2} — x = \frac{x^2 + 1}{2} — x = \frac{x^2 — 2x + 1}{2} = \frac{(x-1)^2}{2},
\]
\[
\frac{b+1}{2} + x = \frac{x^2 + 1}{2} + x = \frac{x^2 + 2x + 1}{2} = \frac{(x+1)^2}{2}.
\]

Теперь корни принимают вид:

\[
\sqrt{\frac{(x-1)^2}{2}} — \sqrt{\frac{(x+1)^2}{2}} = \frac{|x-1|}{\sqrt{2}} — \frac{|x+1|}{\sqrt{2}}.
\]

Поскольку \( x = \sqrt{b} \geq 1 \), то \( x-1 \geq 0 \), а \( x+1 > 0 \). Значит, модули раскрываются без изменений:

\[
\frac{x-1}{\sqrt{2}} — \frac{x+1}{\sqrt{2}} = \frac{x-1 — (x+1)}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}.
\]

Таким образом, исходное выражение упрощается до \(-\sqrt{2}\).

б) Теперь рассмотрим выражение при условии \( c \geq 4 \):

\[
\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} — \sqrt{\frac{c+4}{4} — \sqrt{c}}.
\]

Для удобства обозначим \( y = \sqrt{c} \), тогда \( c = y^2 \), и подкоренные выражения можно переписать как:

\[
\frac{c+4}{4} + \sqrt{c} = \frac{y^2 + 4}{4} + y, \quad \frac{c+4}{4} — \sqrt{c} = \frac{y^2 + 4}{4} — y.
\]

Приведём к общему виду, выделяя полные квадраты. Рассмотрим первое выражение:

\[
\frac{y^2 + 4}{4} + y = \frac{y^2 + 4 + 4y}{4} = \frac{(y + 2)^2}{4}.
\]

Аналогично для второго выражения:

\[
\frac{y^2 + 4}{4} — y = \frac{y^2 + 4 — 4y}{4} = \frac{(y — 2)^2}{4}.
\]

Теперь исходное выражение принимает вид:

\[
\sqrt{\frac{(y+2)^2}{4}} — \sqrt{\frac{(y-2)^2}{4}} = \frac{|y+2|}{2} — \frac{|y-2|}{2}.
\]

При \( y = \sqrt{c} \geq 2 \) (так как \( c \geq 4 \)), оба выражения положительны, значит модули раскрываются:

\[
\frac{y+2}{2} — \frac{y-2}{2} = \frac{y+2 — y + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2.
\]

Таким образом, исходное выражение упрощается до \( 2 \).