Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 445 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\sqrt{\frac{b+1}{2}} — \sqrt{\frac{b-1}{2}} + \sqrt{\frac{b+1}{2}} + \sqrt{\frac{b-1}{2}}\), где \(b > 1\);
б) \(\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} — \sqrt{\frac{c+4}{4} — \sqrt{c}}\), где \(c > 4\).
а) \(b \geq 1\)
\[
\sqrt{\frac{b+1}{2} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{b+1 — 2\sqrt{b}}{2}} — \sqrt{\frac{b+1 + 2\sqrt{b}}{2}} =
\]
\[
= \sqrt{\frac{\left(\sqrt{b} — 1\right)^2}{2}} — \sqrt{\frac{\left(\sqrt{b} + 1\right)^2}{2}} =
\]
\[
= \frac{\sqrt{b} — 1}{\sqrt{2}} — \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{b} — 1 — \sqrt{b} — 1}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}
\]
б) \(c \geq 4\)
\[
\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} — \sqrt{\frac{c+4}{4} — \sqrt{c}} = \sqrt{\frac{c+4+4\sqrt{c}}{4}} — \sqrt{\frac{c+4-4\sqrt{c}}{4}} =
\]
\[
= \sqrt{\frac{\left(\sqrt{c} + 2\right)^2}{4}} — \sqrt{\frac{\left(\sqrt{c} — 2\right)^2}{4}} =
\]
\[
= \frac{\sqrt{c} + 2}{2} — \frac{\sqrt{c} — 2}{2} = \frac{\sqrt{c} + 2 — \sqrt{c} + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]
а) Рассмотрим выражение при условии \( b \geq 1 \):
\[
\sqrt{\frac{b+1}{2} — \sqrt{b}} — \sqrt{\frac{b+1}{2} + \sqrt{b}}.
\]
Для упрощения сначала преобразуем подкоренные выражения. В первом корне у нас разность, а во втором — сумма. Обозначим \( x = \sqrt{b} \), тогда выражения внутри корней можно переписать так:
\[
\frac{b+1}{2} — \sqrt{b} = \frac{b+1}{2} — x, \quad \frac{b+1}{2} + \sqrt{b} = \frac{b+1}{2} + x.
\]
Далее заметим, что \( b = x^2 \), значит:
\[
\frac{b+1}{2} — x = \frac{x^2 + 1}{2} — x = \frac{x^2 — 2x + 1}{2} = \frac{(x-1)^2}{2},
\]
\[
\frac{b+1}{2} + x = \frac{x^2 + 1}{2} + x = \frac{x^2 + 2x + 1}{2} = \frac{(x+1)^2}{2}.
\]
Теперь корни принимают вид:
\[
\sqrt{\frac{(x-1)^2}{2}} — \sqrt{\frac{(x+1)^2}{2}} = \frac{|x-1|}{\sqrt{2}} — \frac{|x+1|}{\sqrt{2}}.
\]
Поскольку \( x = \sqrt{b} \geq 1 \), то \( x-1 \geq 0 \), а \( x+1 > 0 \). Значит, модули раскрываются без изменений:
\[
\frac{x-1}{\sqrt{2}} — \frac{x+1}{\sqrt{2}} = \frac{x-1 — (x+1)}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}.
\]
Таким образом, исходное выражение упрощается до \(-\sqrt{2}\).
б) Теперь рассмотрим выражение при условии \( c \geq 4 \):
\[
\sqrt{\frac{c+4}{4} + \sqrt{c}} — \sqrt{\frac{c+4}{4} — \sqrt{c}}.
\]
Для удобства обозначим \( y = \sqrt{c} \), тогда \( c = y^2 \), и подкоренные выражения можно переписать как:
\[
\frac{c+4}{4} + \sqrt{c} = \frac{y^2 + 4}{4} + y, \quad \frac{c+4}{4} — \sqrt{c} = \frac{y^2 + 4}{4} — y.
\]
Приведём к общему виду, выделяя полные квадраты. Рассмотрим первое выражение:
\[
\frac{y^2 + 4}{4} + y = \frac{y^2 + 4 + 4y}{4} = \frac{(y + 2)^2}{4}.
\]
Аналогично для второго выражения:
\[
\frac{y^2 + 4}{4} — y = \frac{y^2 + 4 — 4y}{4} = \frac{(y — 2)^2}{4}.
\]
Теперь исходное выражение принимает вид:
\[
\sqrt{\frac{(y+2)^2}{4}} — \sqrt{\frac{(y-2)^2}{4}} = \frac{|y+2|}{2} — \frac{|y-2|}{2}.
\]
При \( y = \sqrt{c} \geq 2 \) (так как \( c \geq 4 \)), оба выражения положительны, значит модули раскрываются:
\[
\frac{y+2}{2} — \frac{y-2}{2} = \frac{y+2 — y + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2.
\]
Таким образом, исходное выражение упрощается до \( 2 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!