ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 446 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от внешнего радикала в выражении:
а) \(\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}\), если \(a > 1\);
б) \(\sqrt{a + b + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{a + b + 1 — 2\sqrt{a + b}}\), если \(a + b > 1\).

а) \(a \geq 1\)
\(\sqrt{a + 2\sqrt{a} — 1} = \sqrt{( \sqrt{a} — 1 ) + 1 + 2\sqrt{a} — 1} = \sqrt{(\sqrt{a} — 1 + 1)^2} =\) \(= \sqrt{a} — 1 + 1 = \sqrt{a}\)

б) \(a + b \geq 1\)
\(\sqrt{a + b + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{a + b + 1 — 2\sqrt{a + b}} = \)
\(= \sqrt{(a + b) + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{(a + b) + 1 — 2\sqrt{a + b}} = \)
\(= \sqrt{(\sqrt{a + b} + 1)^2} — \sqrt{(\sqrt{a + b} — 1)^2} = \)
\(= \sqrt{a + b} + 1 — \sqrt{a + b} + 1 = 2\)

а) Рассмотрим выражение под корнем: (a + 2√a — 1). Для упрощения заметим, что его можно представить в виде суммы и разности, которые напоминают формулу квадрата суммы двух выражений. Вспомним, что (x + y)² = x² + 2xy + y². Если положить (x = √a) и (y = -1), то (x + y)² = (√a — 1)² = a — 2√a + 1. Но у нас стоит (a + 2√a — 1), что отличается знаком перед вторым слагаемым. Значит, попробуем переписать подкоренное выражение как (√a — 1 + 1)², чтобы получить правильный вид.

Перепишем (a + 2√a — 1) как ((√a — 1) + 1 + 2√a — 1), что эквивалентно ((√a — 1 + 1)²). Это позволяет представить исходное выражение как корень из квадрата суммы, то есть (√( (√a — 1 + 1)² )). Корень квадратный и квадрат взаимно обратны, поэтому результат равен (√a — 1 + 1), что упрощается до (√a). Таким образом, исходное выражение под корнем сводится к простому выражению (√a).

Важно отметить, что условие (a ≥ 1) гарантирует, что выражение под корнем неотрицательно, и операции с корнями корректны. Без этого условия могли бы возникнуть проблемы с определением значений корней и отрицательных чисел.

б) В данном случае рассматриваем выражение (√(a + b + 1 + 2√(a + b)) — √(a + b + 1 — 2√(a + b))). Чтобы упростить его, сначала обратим внимание на структуру подкоренных выражений. Они напоминают формулы для квадратов суммы и разности: (x + y)² = x² + 2xy + y² и (x — y)² = x² — 2xy + y². Если положить (x = √(a + b)) и (y = 1), то (x + y)² = a + b + 1 + 2√(a + b), а (x — y)² = a + b + 1 — 2√(a + b).

Таким образом, выражение можно переписать как (√((√(a + b) + 1)²) — √((√(a + b) — 1)²)). Корень квадратный и квадрат взаимно уничтожаются, давая (√(a + b) + 1 — (√(a + b) — 1)). При раскрытии скобок видим, что (√(a + b)) сокращается, а минус перед скобкой меняет знак второго слагаемого, в итоге получаем (1 + 1), то есть 2.

Условие (a + b ≥ 1) необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, что обеспечивает корректность вычислений с корнями. Без этого условия результат мог бы быть неопределённым или комплексным.

Таким образом, исходное выражение упрощается до числа 2, что подтверждает правильность преобразований и соблюдение условий задачи.